Elektrizitätslehre

Ladungen & Felder - Oberstufe

Ladungen & Felder - Oberstufe

  • Wie lautet das Gesetz von COULOMB?
  • Wie ist das Feld im Innern eines Plattenkondensators?
  • Wie viel Energie kann ein Kondensator speichern?

Kondensator-Mikrofon (Abitur BY 2004 LK A1-1)

Aufgabe

Über einer festen Metallplatte M1 ist auf zwei elastischen, isolierten Puffern P eine bewegliche, leitende Membran M2 befestigt. Der aus M1 und M2 gebildete Kondensator ist über einen Widerstand \(R = 10{\rm{k\Omega }}\) an eine Gleichspannungsquelle mit \(U = 40{\rm{V}}\) angeschlossen. Der Flächeninhalt der Kondensatorplatten beträgt \(A = 100{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\), der Plattenabstand \(d = 0,20{\rm{mm}}\).

a)Berechnen Sie die Ladung \({Q_0}\) des Kondensators. [zur Kontrolle: \({Q_0} = 18{\rm{nC}}\)] (3 BE)

b)Die Membran wird um \(\Delta x \ll d\) nach unten bewegt.

Zeigen Sie, dass dadurch die zusätzliche Ladung \(\Delta Q \approx \frac{{{Q_0}}}{d} \cdot \Delta x\) auf den Kondensator fließt. (5 BE)

c)In einem Zeitraum \(\Delta t = 2,5 \cdot {10^{ - 4}}{\rm{s}}\) wird M2 um \(\Delta x = 10{\rm{\mu m}}\) nach unten bewegt.

Berechnen Sie mit Hilfe von Teilaufgabe b) die mittlere Stärke des Ladestroms während der Zeit \(\Delta t\) und die mittlere Spannung \({U_{12}}\) zwischen den Anschlusspunkten 1 und 2. (4 BE)

d)Begründen Sie, warum die Anordnung als Mikrofon benutzt werden kann. (5 BE)

e)Für den Einsatz in einem Handy müssten das beschriebene Kondensatormikrofon und die Betriebsspannung \(U\) modifiziert werden.

Erläutern Sie die notwendigen Änderungen sowie der Auswirkungen auf die "Mikrofon-Spannung" \({U_{12}}\). (4 BE)

Lösung

a)Für die Ladung eines Plattenkondensators gilt\[{Q_0} = C \cdot U = {\varepsilon _0} \cdot \frac{A}{d} \cdot U \Rightarrow {Q_0} = 8,85 \cdot {10^{ - 12}}\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{Vm}}}} \cdot \frac{{100 \cdot {{10}^{ - 4}}{{\rm{m}}^2}}}{{0,20 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{m}}}} \cdot 40{\rm{V}} = 1,8 \cdot {10^{ - 8}} = 18{\rm{nC}}\]

b)Berechnung der Ladungsänderung bei Verringerung des Plattenabstandes:\[\Delta Q = \left( {C' - C} \right) \cdot U = \left( {{\varepsilon _0} \cdot \frac{A}{{d - \Delta x}} - {\varepsilon _0} \cdot \frac{A}{d}} \right) \cdot U = \left( {\frac{1}{{d - \Delta x}} - \frac{1}{d}} \right) \cdot {\varepsilon _0} \cdot A \cdot U\]Umformungen liefern\[\Delta Q = \frac{{d - \left( {d - \Delta x} \right)}}{{\left( {d - \Delta x} \right) \cdot d}} \cdot {\varepsilon _0} \cdot A \cdot U = \frac{{\Delta x}}{{{d^2} - \Delta x \cdot d}} \cdot {\varepsilon _0} \cdot A \cdot U\]Mit \(\Delta x \cdot d \ll {d^2}\) ergibt sich\[\Delta Q \approx \frac{{\Delta x}}{{{d^2}}} \cdot {\varepsilon _0} \cdot A \cdot U = \frac{{\Delta x}}{d} \cdot \frac{{{\varepsilon _0} \cdot A \cdot U}}{d} = \frac{{\Delta x}}{d} \cdot {Q_0}\]

c)Berechnung der mittleren Stromstärke:\[\bar I = \frac{{\Delta Q}}{{\Delta t}} = \frac{{\Delta x \cdot {Q_0}}}{{\Delta t \cdot d}} \Rightarrow \bar I = \frac{{10 \cdot {{10}^{ - 6}}{\rm{m}} \cdot 18 \cdot {{10}^{ - 9}}{\rm{As}}}}{{2,5 \cdot {{10}^{ - 4}}{\rm{s}} \cdot 0,20 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{m}}}} = 3,6 \cdot {10^{ - 6}}{\rm{A}}\]Für die am Widerstand abfallende Spannung gilt dann\[{U_{12}} = R \cdot \bar I \Rightarrow {U_{12}} = 10 \cdot {10^3}\Omega  \cdot 3,6 \cdot {10^{ - 6}}{\rm{A}} = 36{\rm{mV}}\]

d)Durch die auftreffenden Schallwellen wird die Membran in Schwingungen versetzt. Dadurch entstehen Kapazitätsschwankungen im Rhythmus der Schwingungen. Diese wiederum rufen am Widerstand Spannungsschwankungen hervor, die verstärkt werden können.

e)Auf jeden Fall wäre eine Verkleinerung der Kondensatorfläche \(A\) und eine Verringerung der Betriebsspannung \(U\) notwendig. Beide Veränderung würden kleinere Ladungs- und damit Stromschwankungen bedeuten (Teilaufgaben a) und b)). Dies hätte nach Teilaufgabe c) eine kleinere Spannung \(U_{12}\) zur Folge.