Elektrizitätslehre

Ladungen & Felder - Oberstufe

K

  • Wie lautet das Gesetz von COULOMB?
  • Wie ist das Feld im Innern eines Plattenkondensators?
  • Wie viel Energie kann ein Kondensator speichern?

Kondensator beim Herzschrittmacher

Aufgabe

Wenn das Herz eines Menschen zu unregelmäßig bzw. zu langsam schlägt, kann mit Hilfe eines Herzschrittmachers für einen regelmäßigen Herzschlag gesorgt werden.

In (älteren) Herzschrittmachern spielen die sogenannten R-C-Glieder eine wesentliche Rolle bei der Steuerung des zeitlichen Ablaufes der Spannungsimpulse, die vom Schrittmacher zum Herz geleitet werden.

Ein Herzschrittmacher soll in der Minute 70 Impulse liefern. Zur Kontrolle der Impulsfrequenz wird ein Kondensator eingesetzt, der sich über einen Widerstand von \(20{\rm{M\Omega }}\) entlädt. Immer wenn der Kondensator voll aufgeladen ist, wird ein Impuls zum Herzen geschickt. Eine geeignete Schaltung stellt die Zeit fest, bis der Kondensator 70% seiner Ladung über den Widerstand verloren hat, lädt dann den Kondensator über einen sehr kleinen Widerstand (und damit sehr schnell) neu auf und gibt dann wieder einen Impuls an das Herz ab.

Bestimmen Sie die Kapazität des Kondensators, der eingesetzt werden muss, damit der Herzschrittmacher die oben beschriebenen Bedingungen erfüllt.

Wenn Sie an einer genaueren Beschreibung des Einsatzes von Herzschrittmachern interessiert sind, so ist der folgende, leicht lesbare Text empfehlenswert.

Lösung

Um eine Pulsfrequenz von 70 Schlägen pro Minute zu erreichen, muss der Entladevorgang des Kondensators bis auf 30% seiner Anfangsladung die Zeit \(t\) dauern:\[t = \frac{{60{\rm{s}}}}{{70}} = 0,86{\rm{s}}\]Der zeitliche Verlauf der Ladung auf dem Kondensator wird durch die Beziehung\[Q(t) = {Q_{\max }} \cdot {e^{ - \;\frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}\]beschrieben. Da \(\frac{{Q(t)}}{{{Q_{\max }}}} = 30\% = 0,30\) ist, gilt\[\begin{array}{l}Q(t) = {Q_{\max }} \cdot {e^{ - \;\frac{t}{{R \cdot C}}}} \Leftrightarrow \frac{{Q(t)}}{{{Q_{\max }}}} = {e^{ - \;\frac{t}{{R \cdot C}}}}\left| {\ln \Leftrightarrow \ln \left( {\frac{{Q(t)}}{{{Q_{\max }}}}} \right)} \right. = - \;\frac{t}{{R \cdot C}}\\ \Leftrightarrow C = - \;\frac{t}{{R \cdot \ln \left( {\frac{{Q(t)}}{{{Q_{\max }}}}} \right)}} \Rightarrow C = - \;\frac{{0,86{\rm{s}}}}{{20 \cdot {{10}^6}{\rm{\Omega }} \cdot \ln \left( {0,3} \right)}} = 35,7{\rm{nF}}\end{array}\]