Elektrizitätslehre

Ladungen & Felder - Oberstufe

G

  • Wie lautet das Gesetz von COULOMB?
  • Wie ist das Feld im Innern eines Plattenkondensators?
  • Wie viel Energie kann ein Kondensator speichern?

Gewitterwolke

Aufgabe

Eine positiv geladene Wolke in \(400\,\rm{m}\) Höhe bildet zusammen mit dem Erdboden einen Plattenkondensator (Fläche einer "Platte" \(8{,}0\,\rm{km^2}\)). Zwischen Wolke und Erde herrscht die Feldstärke \(E = 1{,}2 \cdot 10^5\,\rm{\frac{V}{m}}\), die so hoch ist, dass eine Entladung durch die Luft (Blitz) unmittelbar bevorsteht

a)Berechne die Ladung der Wolke. [zur Kontrolle: \(Q = 8{,}5\,\rm{C}\)]

Berechne die Spannung, die zwischen Wolke und Boden herrscht. (5 BE)

b)Berechne die Ladung, die ein kugelförmiges Wassertröpfchen mit \(2{,}0\,\rm{mm}\) Durchmesser haben müsste, wenn es vor Entladung der Wolke zwischen dieser und der Erde bei Windstille gerade schweben würde. (Der Auftrieb in Luft ist zu vernachlässigen.) (6 BE)

c)Berechne, wie lange die Entladung der Wolke dauern würde, wenn die mittlere Stromstärke des Blitzes \(4{,}0\,\rm{kA}\) betragen würde (3BE)

d)Noch bevor es zu einer Entladung kommt, drückt ein Fallwind die Wolke auf eine niedrigere Höhe herab. Die Ladung der Wolke bleibe dabei konstant.

Erläutere, wie sich dadurch qualitativ die elektrische Feldstärke zwischen Wolke und Erde ändert.

Begründe kurz, ob eine Entladung der Wolke dadurch wahrscheinlicher würde. (6 BE)

Lösung

a)Feldstärke und Spannung beim Plattenkondensator:\[E = \frac{U}{d} \Leftrightarrow U = E \cdot d \Rightarrow U = 1,2 \cdot {10^5}\frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}} \cdot 400{\rm{m}} = 4,8 \cdot {10^7}{\rm{V}}\]Kapazität und Ladung beim Plattenkondensator: \[C = {\varepsilon _0} \cdot \frac{A}{d} \Rightarrow C = 8,85 \cdot {10^{ - 12}} \cdot \frac{{8,0 \cdot {{10}^6}}}{{400}}\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}} \cdot {{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{V}} \cdot {\rm{m}} \cdot {\rm{m}}}} \approx 1,8 \cdot {10^{-7}}\,{\rm{F}}\] \[C = \frac{Q}{U} \Leftrightarrow Q = C \cdot U \Rightarrow Q = 1,8 \cdot {10^{ - 7}}{\rm{F}} \cdot 4,8 \cdot {10^7}{\rm{V}} = 8,5{\rm{As}}\]

b)Berechnung der Ladung eines Tröpfchens: Die Gewichtskraft ist betragsgleich der Elektrischen Kraft:\[m \cdot g = E \cdot q \Leftrightarrow q = \frac{{m \cdot g}}{E}\] mit \(m = \rho  \cdot V\) und \({V_{Kugel}} = \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3}\) ergibt sich dann für die Ladung \[q = \frac{{\rho  \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g}}{E}\] Einsetzen der gegebenen Werte \(r = 1,0{\rm{mm}}\), \(\rho  = 1,0\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = 1000\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) und \(g = 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\) liefert \[q = \frac{{1,0 \cdot {{10}^3} \cdot \frac{4}{3} \cdot {{\left( {1,0 \cdot {{10}^{ - 3}}} \right)}^3} \cdot \pi  \cdot 9,81}}{{1,2 \cdot {{10}^5}}}\frac{{\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot {{\rm{m}}^{\rm{3}}} \cdot \frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}}{{\frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}}}} \approx 3,4 \cdot {10^{ - 10}}{\rm{As}}\]

c)Berechnung der Entladezeit: \[Q = I \cdot t \Leftrightarrow t = \frac{Q}{I} \Rightarrow t = \frac{{8,5{\rm{As}}}}{{4,0 \cdot {{10}^3}{\rm{A}}}} = 2,1{\rm{ms}}\]

d)Für die Feldstärke gilt \(E = \frac{1}{{{\varepsilon _0}}} \cdot \frac{Q}{A}\). Da keine dieser Größen auf der rechten Seite der Gleichung sich ändert, ändert sich auch \(E\) nicht.

Da nur \(E\) für die Entladungswahrscheinlichkeit maßgebend ist, ändert sich diese auch nicht.