Elektrizitätslehre

Ladungen & Felder - Oberstufe

F

  • Wie lautet das Gesetz von COULOMB?
  • Wie ist das Feld im Innern eines Plattenkondensators?
  • Wie viel Energie kann ein Kondensator speichern?

Feldüberlagerung auf dem THALES-Kreis

Aufgabe

Wie in nebenstehender Skizze gezeichnet, stehen sich zwei Ladungen q1 = q und q2 =2·q in der gegenseitigen Entfernung 5a gegenüber.

a)Berechnen Sie die resultierende Feldstärke \(\left| {{{\vec E}_A}} \right|\) im Punkt A.

b)Bestimmen Sie zeichnerisch die Richtung von \({\vec E}_A \).

c)Welche Potentialdifferenz ΔφAB misst man zwischen den Punkten A und B?

Lösung

a)Es ergeben sich\[{E_{{\rm{1A}}}} = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{q}{{{{\left( {3 \cdot a} \right)}^2}}} = \frac{q}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0} \cdot {a^2}}} \cdot \frac{1}{9}\]und\[{E_{{\rm{2A}}}} = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{2 \cdot q}}{{{{\left( {4 \cdot a} \right)}^2}}} = \frac{q}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0} \cdot {a^2}}} \cdot \frac{1}{8}\]Nach dem Satz des THALES ist der Winkel zwischen \({{\vec E}_{{\rm{1A}}}}\) und \({{\vec E}_{{\rm{2A}}}}\) ein rechter Winkel, so dass man den Betrag der Feldstärke \({{\vec E}_{\rm{A}}}\) mit dem Satz des PYTHAGORAS bestimmen kann:\[{E_{\rm{A}}} = \sqrt {{E_{{\rm{1A}}}}^2 + {E_{{\rm{2A}}}}^2}  = \frac{q}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0} \cdot {a^2}}} \cdot \sqrt {\frac{1}{{81}} + \frac{1}{{64}}}  = \frac{q}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0} \cdot {a^2}}} \cdot \sqrt {\frac{{64 + 81}}{{81 \cdot 64}}}  \approx \frac{q}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0} \cdot {a^2}}} \cdot \frac{1}{6}\]

b)Siehe Zeichnung

c)\[\begin{array}{l}{\varphi _A} = {\varphi _{A1}} + {\varphi _{A2}}\quad  \Rightarrow \quad {\varphi _A} = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}}\frac{q}{{3 \cdot a}} + \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}}\frac{{2 \cdot q}}{{4 \cdot a}} = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}}\left( {\frac{q}{{3 \cdot a}} + \frac{{2 \cdot q}}{{4 \cdot a}}} \right)\\{\varphi _B} = {\varphi _{B1}} + {\varphi _{B2}}\quad  \Rightarrow \quad {\varphi _B} = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}}\frac{q}{{4 \cdot a}} + \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}}\frac{{2 \cdot q}}{{3 \cdot a}} = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}}\left( {\frac{q}{{4 \cdot a}} + \frac{{2 \cdot q}}{{3 \cdot a}}} \right)\\\Delta {\varphi _{AB}} = {\varphi _A} - {\varphi _B}\quad  \Rightarrow \quad \Delta {\varphi _{AB}} = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}}\frac{q}{a} \cdot \left( {\frac{1}{3} + \frac{2}{4} - \frac{1}{4} - \frac{2}{3}} \right)\quad  \Rightarrow \quad \Delta {\varphi _{AB}} = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}}\frac{q}{a} \cdot \left( { - \frac{1}{{12}}} \right)\end{array}\]