Elektrizitätslehre

Ladungen & Felder - Oberstufe

Ladungen & Felder - Oberstufe

  • Wie lautet das Gesetz von COULOMB?
  • Wie ist das Feld im Innern eines Plattenkondensators?
  • Wie viel Energie kann ein Kondensator speichern?

Entladen eines Plattenkondensators

Aufgabe

Ein Bandgenerator dient als Spannungsquelle, um einen Plattenkondensator mit kreisförmigen Platten (Durchmesser \(d = 256{\rm{mm}}\), Plattenabstand \(s = 4,3{\rm{mm}}\)) aufzuladen. Nach dem Aufladen erfolgt eine Trennung von Kondensator und Bandgenerator. Anschließend wird der Kondensator über einen Widerstand entladen und die Entladestromstärke gemessen. Der Widerstand der Messstrecke (Entladewiderstand und Innenwiderstand des Messgerätes) beträgt \(R = 10{\rm{G\Omega }}\). Es ergeben sich folgende Messwerte:

\(t\;{\rm{in}}\;{\rm{s}}\) \(0\) \(0,5\) \(1,0\) \(1,5\) \(2,0\) \(3,0\) \(4,0\) \(10\)
\(I\;{\rm{in}}\;{\rm{nA}}\) \(114\) \(71\) \(44\) \(28\) \(17\) \(7\) \(2\) \(0\)

a)Skizzieren Sie eine Schaltung zur Ermittlung der Entladestromstärke.

Zeichnen Sie das \(I(t)\)-Diagramm.

Bestimmen Sie die Ladung \({Q_0}\) des Kondensators zum Zeitpunkt \(t = 0\).

Erläutern Sie kurz eine weitere Möglichkeit, die im Kondensator gespeicherte Ladung zu ermitteln.

b)Berechnen Sie die Kapazität des Plattenkondensators.

Ermitteln Sie die Spannung \({U_0}\) zu Beginn des Entladevorgangs.

Lösung

a)In Schalterstellung 1 wird der Kondensator durch den Bandgenerator geladen, in Schalterstellung 2 wird der Kondensator über den Widerstand entladen.

1. Möglichkeit zur Bestimmung der Ladung \({Q_0}\): Graphische Bestimmung der Fläche unter der \(t\)-\(I\)-Kurve, welche ein Maß für die abgeflossene Ladung \({Q_0}\) ist.

Dazu überlegt man sich, was ein graues Quadrat in der Grafik "wert" ist:\[{Q_{{\rm{Quadrat}}}} = 5 \cdot {10^{ - 9}}{\rm{A}} \cdot 0,5{\rm{s}} = 2,5 \cdot {10^{ - 9}}{\rm{As}}\]Dann schätzt man die Zahl der Kästchen ab, die unter der Zeit-Strom-Kurve liegen und erhält ca. 43 Kästchen. Für die Ladung \({Q_0}\) gilt dann\[{Q_0} \approx 43 \cdot 2,5 \cdot {10^{ - 9}}{\rm{As}} = 1,1 \cdot {10^{ - 7}}{\rm{As}}\]

2. Möglichkeit zur Bestimmung der Ladung \({Q_0}\): Anwendung der KIRCHHOFFschen Maschenregel (Diese Methode hat allerdings zur Folge, dass einige Größen, die erst in Teilaufgabe b) gefragt sind, schon hier berechnet werden müssen. Bei dieser Vorgehensweise wird davon ausgegangen, dass der Plattenkondensator kein Dielektrikum besitzt.)

Bei Schalterstellung 2 (Entladung des Kondensators) gilt für die Spannungen im Entladekreis\[{U_C}\left( 0 \right) = I\left( 0 \right) \cdot R\quad(1)\]Da für \({U_C}\left( 0 \right)\) gilt\[{U_C}\left( 0 \right) = \frac{{{Q_0}}}{C}\quad (2)\]
erhält man durch Einsetzen von \((2)\) in \((1)\)\[\frac{{{Q_0}}}{C} = I\left( 0 \right) \cdot R \Leftrightarrow {Q_0} = I\left( 0 \right) \cdot R \cdot C\quad(3)\]Die Kapaizität \(C\) lässt sich aus den geometrischen Daten des Kondensators berechnen:\[C = {\varepsilon _0} \cdot \frac{A}{s} = {\varepsilon _0} \cdot \frac{{{{\left( {\frac{d}{2}} \right)}^2} \cdot \pi }}{s} \Rightarrow C = 8,85 \cdot {10^{ - 12}}\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{Vm}}}} \cdot \frac{{{{\left( {128 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{m}}} \right)}^2} \cdot \pi }}{{4,3 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{m}}}} = 1,1 \cdot {10^{ - 10}}\frac{{{\rm{As}}}}{{\rm{V}}}\quad(4)\]Setzt man \((4)\) in \((3)\) ein, so erhält man\[{Q_0} = 114 \cdot {10^{ - 9}}{\rm{A}} \cdot 10 \cdot {10^9}\Omega  \cdot 1,1 \cdot {10^{ - 10}}\frac{{{\rm{As}}}}{{\rm{V}}} = {\rm{1}},{\rm{2}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{ - 7}}{\rm{As}}\]

b)Berechnung der Kapazität (vergleiche Teilaufgabe a) - 2. Möglichkeit)\[C = 1,1 \cdot {10^{ - 10}}{\rm{F}}\]Bestimmung der Spannung \({U_0}\) zu Beginn des Entladevorgangs:\[C = \frac{{{Q_0}}}{{{U_0}}} \Leftrightarrow {U_0} = \frac{{{Q_0}}}{C} \Rightarrow {U_0} = \frac{{1,2 \cdot {{10}^{ - 7}}{\rm{As}}}}{{1,1 \cdot {{10}^{ - 10}}{\rm{F}}}} = 1,1{\rm{kV}}\]