Elektrizitätslehre

Ladungen & Felder - Oberstufe

Ladungen & Felder - Oberstufe

  • Wie lautet das Gesetz von COULOMB?
  • Wie ist das Feld im Innern eines Plattenkondensators?
  • Wie viel Energie kann ein Kondensator speichern?

Entladen eines Goldcaps (Abitur BY 2000 LK A5-1)

Aufgabe

Ein "Goldcap" ist ein Kondensator mit sehr hoher Kapazität, der sich im Vergleich zu Folienkondensatoren durch eine sehr kleine Baugröße auszeichnet. Für einen bestimmten Typ gelten folgende Daten: Kapazität \(1{,}0\,{\rm{F}}\) ; Größe des zylinderförmigen Gehäuses: Durchmesser\(21\,{\rm{mm}}\) , Höhe \(10\,{\rm{mm}}\)

a)Berechne, wie groß die Plattenfläche \(A\) eines Plattenkondensators sein müsste, der bei einem Plattenabstand von \(50\,{\rm{\mu m}}\) die Kapazität \(1{,}0\,{\rm{F}}\) aufweist. Rechne mit der Dielektrizitätskonstanten von Vakuum. [zur Kontrolle: \(A = 5{,}6\,{\rm{k}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) ] (3 BE)

b)Berechne, wie groß das Verhältnis der Volumina des angegebenen Goldcaps und des Plattenkondensators aus Teilaufgabe a) ist, wenn das Eigenvolumen der Platten außer Acht gelassen wird.

Erläutere, wie sich dieses Verhältnis verändert, wenn es unter Beibehaltung der Kapazität gelingt, den Abstand der Platten beim Plattenkondensator zu halbieren. (5 BE)

 

Nach dem Aufladen beträgt die Spannung am Goldcap \({U_0} = 4{,}5\,{\rm{V}}\) . Die Entladung erfolgt über einen äußeren Widerstand \({R_a} = 60\,\Omega \) . Dabei wird folgende Messreihe ermittelt:

\(t\;{\rm{in}}\;{\rm{s}}\)
\(0\)
\(10\)
\(30\)
\(50\)
\(70\)
\(90\)
\(I\;{\rm{in}}\;{\rm{mA}}\)
\(38{,}0\)
\(34{,}9\)
\(29{,}4\)
\(24{,}9\)
\(21{,}1\)
\(17{,}8\)

c)Zeichne das zugehörige \(t - I\)-Diagramm.

Zeigen, dass der Innenwiderstand des Goldcaps \({R_i} = 58\,\Omega \)  beträgt. Der Innenwiderstand des Amperemeters kann vernachlässigt werden. (6 BE)

d)Fertige das zugehörige \(t - \ln \left( {\frac{{I(t)}}{{{I_0}}}} \right)\) -Diagramm an.

Begründe, wie mit diesem Diagramm die Gesetzmäßigkeit \(I(t) = {I_0} \cdot {e^{ - k \cdot t}}\) überprüft werden kann.

Bestätige mit den verwendeten Daten den Zusammenhang \(k = \frac{1}{{\left( {{R_i} + {R_a}} \right) \cdot C}}\) . (10 BE)

Das Goldcap mit der Kapazität \(1{,}0\,{\rm{F}}\) wird zur "Pufferung" eines elektronischen Datenspeichers bei Stromausfall verwendet. Die Anfangsspannung beträgt \(5{,}0\,{\rm{V}}\) , der Widerstand R des Datenspeichers \(4{,}8\,{\rm{M}}\Omega \) .

e)Berechne unter Verwendung der Angaben aus Teilaufgabe d), nach wie vielen Tagen die Spannung an einem Datenspeicher nach einem Stromausfall auf \(3{,}5\,{\rm{V}}\) absinkt. Der Innenwiderstand des Goldcaps kann dabei vernachlässigt werden. (6 BE)

Lösung

Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)\[C = {\varepsilon _0} \cdot \frac{A}{d} \Leftrightarrow A = \frac{{C \cdot d}}{{{\varepsilon _0}}} \Rightarrow A = \frac{{1,0{\rm{F}} \cdot 50 \cdot {{10}^{ - 6}}{\rm{m}}}}{{8,8542 \cdot {{10}^{ - 12}}\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{Vm}}}}}} = 5,6 \cdot {10^6}{{\rm{m}}^{\rm{2}}} = 5,6{\rm{k}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\]

b)\[{D_G} = 21{\rm{mm}} \Rightarrow {{\rm{r}}_G} = 10,5 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{m}}\]Berechnung des Verhältnisses \(\frac{{{V_P}}}{{{V_G}}}\):\[\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{{V_P} = A \cdot d}\\{{V_G} = \pi \cdot {{\rm{r}}_G}^2 \cdot {h_G}}\end{array}} \right\} \Rightarrow \frac{{{V_P}}}{{{V_G}}} = \frac{{A \cdot d}}{{\pi \cdot {{\rm{r}}_G}^2 \cdot {h_G}}} \Rightarrow \frac{{{V_P}}}{{{V_G}}} = \frac{{5,6 \cdot {{10}^6}{{\rm{m}}^{\rm{2}}} \cdot 50 \cdot {{10}^{ - 6}}{\rm{m}}}}{{\pi \cdot {{\left( {10,5 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{m}}} \right)}^2} \cdot 10 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{m}}}} = 80,8 \cdot {10^6}\]Das Volumen des Plattenkondensators ist also ca. 81 Millionen mal größer als das Volumen des Goldcaps.

Wenn der Abstand der Platten unter Beibehaltung der Kapazität halbiert wird, muss sich auch die Plattenfläche halbieren.

Wenn sich Plattenabstand und Plattenfläche halbieren, dann ist das Volumen nur noch ein Viertel des Ausgangsvolumens.

Hieraus wird ersichtlich, dass das Verhältnis geviertelt wird, wenn die Dicke und Fläche des Plattenkondensators halbiert werden.

 

c)Berechnung des Innenwiderstandes des Goldcaps:\[{U_0} = {R_{ges}} \cdot {I_0} \Rightarrow {U_0} = \left( {{R_i} + {R_a}} \right) \cdot {I_0} \Rightarrow {R_i} = \frac{{{U_0}}}{{{I_0}}} - {R_a} \Rightarrow {R_i} = \frac{{4,5{\rm{V}}}}{{38,0 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{A}}}} - 60{\rm{\Omega }} = 58{\rm{\Omega }}\]

 

d)Wie man sieht ist der Graph eine Gerade. Somit gilt\[\ln \left( {\frac{{I(t)}}{{{I_0}}}} \right) \sim t \Rightarrow \ln \left( {\frac{{I(t)}}{{{I_0}}}} \right) =  - k \cdot t \Rightarrow I(t) = {I_0} \cdot {e^{ - k \cdot t}}\]Mit den gegebenen bzw. berechneten Werten ergibt sich\[k = \frac{1}{{\left( {{R_i} + {R_a}} \right) \cdot C}} = \frac{1}{{118{\rm{\Omega }} \cdot 1,0{\rm{F}}}} = \frac{1}{{118{\rm{s}}}}\]Man bestätigt z.B.\[I(50{\rm{s}}) = 38,0 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{A}} \cdot {e^{ - \frac{{50{\rm{s}}}}{{118{\rm{s}}}}}} = 24,9 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{A}}\]was hervorragend mit dem Messwert übereinstimmt.

e)Wegen \(I(t) = {I_0} \cdot {e^{ - \frac{t}{{R \cdot C}}}}\) und \(U(t) = R \cdot I(t)\) ergibt sich\[U(t) = {U_0} \cdot {e^{ - \frac{t}{{R \cdot C}}}} \Leftrightarrow \frac{{U(t)}}{{{U_0}}} = {e^{ - \frac{t}{{R \cdot C}}}}\left| {\ln } \right. \Leftrightarrow \ln \left( {\frac{{U(t)}}{{{U_0}}}} \right) =  - \frac{t}{{R \cdot C}} \Leftrightarrow t =  - R \cdot C \cdot \ln \left( {\frac{{U(t)}}{{{U_0}}}} \right)\]Einsetzen der gegeben Werte ergibt\[t =  - 4,8 \cdot {10^6}{\rm{\Omega }} \cdot 1,0{\rm{F}} \cdot \ln \left( {\frac{{3,5{\rm{V}}}}{{5,0{\rm{V}}}}} \right) = 1712000{\rm{s}} = 19,8{\rm{d}}\]