Elektrizitätslehre

Ladungen & Felder - Oberstufe

E

  • Wie lautet das Gesetz von COULOMB?
  • Wie ist das Feld im Innern eines Plattenkondensators?
  • Wie viel Energie kann ein Kondensator speichern?

Elektrische Kräfte im Wasserstoffatom

Aufgabe

In einem frühen Modell des Wasserstoffatoms stellte man sich vor, dass ein Elektron (\({q_e} =  - 1,6 \cdot {10^{ - 19}}As\)) sich gleichförmig auf einer Kreisbahn mit dem Radius \(r = 5,29 \cdot {10^{ - 11}}m\) um den Kern des Wasserstoffatoms kreist. Der Kern besteht aus einem Proton mit der Ladung \({q_p} =  + 1,6 \cdot {10^{ - 19}}As\).

a)Berechnen Sie den Betrag der elektrostatischen Anziehungskraft \({F_{el}}\) zwischen Kern und Elektron.

b)Bei Vernachlässigung anderer Kräfte muss bei der Bewegung des Elektrons auf einer Kreisbahn die elektrostatische Anziehungskraft die Zentralkraft darstellen. Die Masse des Elektrons ist \({m_e} = 9,1 \cdot {10^{ - 31}}kg\).

Berechnen Sie unter diesen Annahmen die Geschwindigkeit des Elektrons auf der Kreisbahn, sowie dessen Umlaufdauer T.

Lösung

a)Berechnung der elektrostatischen Anziehungskraft:\[\begin{array}{l}{F_{el}} = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{\left| {{q_e}} \right| \cdot {q_p}}}{{{r^2}}} \Rightarrow \quad \\{F_{el}} = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot 8,85 \cdot 1{0^{ - 12}}}} \cdot \frac{{{{\left( {1,6 \cdot {{10}^{ - 19}}} \right)}^2}}}{{{{\left( {0,529 \cdot {{10}^{ - 10}}} \right)}^2}}}{\rm{N}} \approx 8,2 \cdot {10^{ - 8}}{\rm{N}}\end{array}\]

b)Die für eine gleichförmige Kreisbewegung notwendige Zentripetalkraft wird durch die elektrostatische Anziehungskraft aufgebracht. Zentripetalkraft = elektrostatische Anziehungskraft\[\begin{array}{l}\frac{{m \cdot {v^2}}}{r} = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{\left| {{q_e}} \right| \cdot {q_p}}}{{{r^2}}} \Rightarrow v = \sqrt {\frac{{\left| {{q_e}} \right| \cdot {q_p}}}{{m \cdot r \cdot 4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}}} \\v = \sqrt {\frac{{{{\left( {1,6 \cdot {{10}^{ - 19}}} \right)}^2}}}{{9,1 \cdot 1{0^{ - 31}} \cdot 0,53 \cdot 1{0^{ - 10}} \cdot 4 \cdot \pi  \cdot 8,85 \cdot 1{0^{ - 12}}}}} \frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \approx 2,2 \cdot {10^6}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\end{array}\]\[T = \frac{{2 \cdot \pi  \cdot r}}{v} \Rightarrow T = \frac{{2 \cdot \pi  \cdot 0,53 \cdot {{10}^{ - 10}}}}{{2,2 \cdot {{10}^6}}}{\rm{s}} \approx 1,5 \cdot {10^{ - 16}}{\rm{s}}\]