Direkt zum Inhalt

Aufgabe

Elektrische Kräfte im Wasserstoffatom

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

In einem frühen Modell des Wasserstoffatoms stellte man sich vor, dass ein Elektron (\({q_{\rm{e}}} = -1{,}6 \cdot {10^{-19}}\,\rm{A}\,\rm{s}\)) sich gleichförmig auf einer Kreisbahn mit dem Radius \(r = 5{,}29 \cdot {10^{-11}}\,\rm{m}\) um den Kern des Wasserstoffatoms kreist. Der Kern besteht aus einem Proton mit der Ladung \({q_{\rm{p}}} = +1{,}6 \cdot {10^{-19}}\,\rm{A}\,\rm{s}\).

a)Berechne den Betrag der COULOMB-Kraft \({F_{\rm{C}}}\) zwischen Kern und Elektron.

b)Bei Vernachlässigung anderer Kräfte muss bei der Bewegung des Elektrons auf einer Kreisbahn die COULOMB-Kraft die Zentripetalkraft darstellen. Die Masse des Elektrons ist \({m_{\rm{e}}} = 9{,}1 \cdot {10^{-31}}\,\rm{kg}\).

Berechne unter diesen Annahmen den Betrag \(v\) der Bahngeschwindigkeit des Elektrons auf der Kreisbahn.

Berechne auch die Umlaufdauer \(T\).

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken

a)Berechnung der COULOMB-Kraft:\[\begin{array}{l}{F_{\rm{C}}} = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{\left| {{q_{\rm{e}}}} \right| \cdot {q_p}}}{{{r^2}}} \Rightarrow \quad \\{F_{\rm{C}}} = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot 8{,}85 \cdot 1{0^{-12}}}} \cdot \frac{{{{\left( {1{,}6 \cdot {{10}^{-19}}} \right)}^2}}}{{{{\left( {5{,}29 \cdot {{10}^{-11}}} \right)}^2}}}\,{\rm{N}} = 8{,}2 \cdot {10^{-8}}\,{\rm{N}}\end{array}\]

b)Die für eine gleichförmige Kreisbewegung notwendige Zentripetalkraft wird durch die COULOMB-Kraft aufgebracht. Damit muss gelten\[\begin{array}{l}\frac{{m \cdot {v^2}}}{r} = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{\left| {{q_e}} \right| \cdot {q_p}}}{{{r^2}}} \Rightarrow v = \sqrt {\frac{{\left| {{q_e}} \right| \cdot {q_p}}}{{m \cdot r \cdot 4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}}} \\v = \sqrt {\frac{{{{\left( {1,6 \cdot {{10}^{ - 19}}} \right)}^2}}}{{9,1 \cdot 1{0^{ - 31}} \cdot 0,53 \cdot 1{0^{ - 10}} \cdot 4 \cdot \pi  \cdot 8,85 \cdot 1{0^{ - 12}}}}} \frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \approx 2,2 \cdot {10^6}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\end{array}\]\[T = \frac{{2 \cdot \pi  \cdot r}}{v} \Rightarrow T = \frac{{2 \cdot \pi  \cdot 0,53 \cdot {{10}^{ - 10}}}}{{2,2 \cdot {{10}^6}}}{\rm{s}} = 1,5 \cdot {10^{-16}}{\rm{s}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Ladungen & elektrisches Feld