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Aufgabe

Einschaltvorgang beim Kondensator

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Ein Kondensator der Kapazität \(C\) wird zum Zeitpunkt \(t = 0{\rm{s}}\) über einen Widerstand \(R = 100{\rm{\Omega }}\) aufgeladen.

 

Das zugehörige t-I-Diagramm ist im rechten Bild dargestellt.

a)Bestimmen Sie die Spannung \({U_0}\) der Quelle.

b)Zu welcher Zeit \({t_1}\) ist die Stromstärke auf die Hälfte des Ausgangswertes abgesunken?

c)Bestimmen Sie zur Zeit \({t_1}\) die Spannung über dem Kondensator.

d)Ersetzen Sie für \(0{\rm{s}} \le t \le {t_1}\) den Kurvenbogen durch die zugehörige Sehne.

Bestimmen Sie näherungsweise die in diesem Zeitintervall geflossene Ladung \(\Delta Q\) und die Kapazität \(C\) des Kondensators.

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a)Zu Beginn sitzt noch keine Ladung auf dem Kondensator, also ist die Spannung über dem Kondensator noch Null. Es gilt\[{U_0} = {U_R}(0) = {I_0} \cdot R \Rightarrow {U_0} = 1,00{\rm{A}} \cdot {\rm{100\Omega }} = 100{\rm{V}}\]

b)Aus dem Diagramm liest man ab, dass bei \(2{\rm{ms}}\) der Strom nur noch \(0,50{\rm{A}}\) beträgt.

c)Nach der Maschenregel von KIRCHHOFF gilt zu jedem Zeitpunkt (also auch zum Zeitpunkt \({t_1}\) )\[\begin{array}{l}{U_0} = {U_R} + {U_C} \Leftrightarrow {U_C} = {U_0} - {U_R} \Rightarrow {U_C} = {U_0} - I({t_1}) \cdot R \Rightarrow \\{U_C} = 100{\rm{V}} - 0,5{\rm{A}} \cdot 100{\rm{\Omega }} = 50{\rm{V}}\end{array}\]

d)Die Fläche im t-I-Diagramm ist ein Maß für die Ladung, die auf den Kondensator geflossen ist. Die grüne "Näherungsfläche" ist dem blau umrandeten Rechteck flächengleich. Dieses Rechteck hat die Breite \(2,0{\rm{ms}}\) und die Höhe \(0,75{\rm{A}}\). Also gilt für die Ladung\[\Delta Q = \bar I \cdot \Delta t \Rightarrow \Delta Q = 0,75{\rm{A}} \cdot 2,0 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{s}} = 1,5 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{As}}\]Für den Zusammenhang zwischen Ladung und Kapazität gilt\[C = \frac{{Q({t_1})}}{{{U_C}({t_1})}} \Rightarrow C = \frac{{1,5 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{As}}}}{{50{\rm{V}}}} = 30{\rm{\mu F}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Kondensator & Kapazität