Elektrizitätslehre

Ladungen & Felder - Oberstufe

Ladungen & Felder - Oberstufe

  • Wie lautet das Gesetz von COULOMB?
  • Wie ist das Feld im Innern eines Plattenkondensators?
  • Wie viel Energie kann ein Kondensator speichern?

Doppelpendel

Aufgabe

Zwei kleine metallisch leitende Kugeln von je \(5,00\rm{g}\) Masse sind jeweils an einem Faden ("masselos", isolierend) der Länge \(s = 20,0\rm{cm}\) befestigt. Sie berühren sich zunächst im ungeladenen Zustand. Mittels einer Hochspannungsquelle werden sie aufgeladen, danach stellt sich der dargestellte Zustand mit \({\alpha  = 10,0^\circ }\) ein.

a)Berechne den Betrag der Kraft, mit der sich die beiden Kugeln abstoßen. [Kontrollergebnis: \(4,29 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{N}}\)]

b)Berechne die Gesamtladung auf den beiden Kugeln.

c)Zeige, dass für die Gesamtladung gilt: \[{{Q_{{\rm{ges}}}} = 8 \cdot s \cdot \sqrt {{\varepsilon _0} \cdot \pi  \cdot m \cdot g \cdot \tan \left( {\frac{\alpha }{2}} \right) \cdot \sin {{\left( {\frac{\alpha }{2}} \right)}^2}} }\]

Lösung

a)Ist das Pendel im Gleichgewicht, so sind die COULOMB-Kraft \(\vec F_\rm{C}\), die Gewichtskraft \(\vec F_\rm{G}\) und die Fadenkraft \(\vec F_\rm{F}\) im Gleichgewicht. Aus dem linken unteren Teil der Abbildung entnimmt man\[\tan \left( {\frac{\alpha }{2}} \right) = \frac{{{F_{\rm{C}}}}}{{{F_{\rm{G}}}}} \Leftrightarrow {F_{\rm{C}}} = {F_{\rm{G}}} \cdot \tan \left( {\frac{\alpha }{2}} \right) = m \cdot g \cdot \tan \left( {\frac{\alpha }{2}} \right)\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{F_{\rm{C}}} = 9,81\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot 5,00 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{kg}} \cdot \tan \left( {\frac{{10,0^\circ }}{2}} \right) = 4,29 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{N}}\]

b)Die abstoßende Kraft ist die COULOMB-Kraft mit\[{F_{\rm{C}}} = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{{Q_1} \cdot {Q_2}}}{{{r^2}}}\]Hierbei ist \(r\) der Abstand der Kugeln, der sich ebenfalls aus einem rechtwinkligen Dreieck im rechten Teil der Abbildung ergibt\[\sin \left( {\frac{\alpha }{2}} \right) = \frac{{\frac{r}{2}}}{s} \Leftrightarrow r = 2 \cdot s \cdot \sin \left( {\frac{\alpha }{2}} \right)\]Da die Ladungen auf den Kugeln gleich sind (\(Q_1=Q_2=Q\)), ergibt sich\[{F_{\rm{C}}} = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{Q \cdot Q}}{{{r^2}}} \Rightarrow Q = \sqrt {{F_{\rm{C}}} \cdot {r^2} \cdot 4\pi {\varepsilon _0}} \]und damit\[{Q_{{\rm{ges}}}} = 2 \cdot Q = 2 \cdot \sqrt {4,29 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{N}} \cdot {{\left( {2 \cdot 0,200{\rm{m}} \cdot \sin \left( {\frac{{10,0^\circ }}{2}} \right)} \right)}^2} \cdot 4 \cdot \pi  \cdot 8,85 \cdot {{10}^{ - 12}}\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{Vm}}}}}  = 4,82 \cdot {10^{ - 8}}{\rm{As}}\]

c)Wir betrachten erneut den Zusammenhang aus Teilaufgabe b):\[\begin{array}{*{20}{l}}{{Q_{{\rm{ges}}}}}&{ = 2 \cdot Q = 2 \cdot \sqrt {{F_{\rm{C}}} \cdot {r^2} \cdot 4\pi {\varepsilon _0}} }\\{}&{ = 2 \cdot \sqrt {m \cdot g \cdot \tan \left( {\frac{\alpha }{2}} \right) \cdot {{\left( {2 \cdot s \cdot \sin \left( {\frac{\alpha }{2}} \right)} \right)}^2} \cdot 4\pi {\varepsilon _0}} }\\{}&{ = 8 \cdot s \cdot \sqrt {{\varepsilon _0} \cdot \pi  \cdot m \cdot g \cdot \tan \left( {\frac{\alpha }{2}} \right) \cdot \sin {{\left( {\frac{\alpha }{2}} \right)}^2}} }\end{array}\]