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Aufgabe

COULOMB-Gesetz (Abitur BY 2019 Ph11-1 A1)

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Abb. 1 Versuchsaufbau

Im Unterricht soll die Kraft zwischen zwei identischen geladenen Metallkugeln mit Durchmesser \(2{,}0\,\rm{cm}\) untersucht werden. Dazu werden der Abstand \(r\) der Kugelmittelpunkte und die Spannung \(U\), die zum Laden der beiden Kugeln verwendet wird, verändert und mit einem Kraftsensor der Kraftbetrag \(F\) auf eine der beiden Kugeln gemessen. Es ergeben sich folgende Messwerte:

Tab. 1 Messwerte
Messung 1 2 3 4 5 6 7
\(r\;\rm{in}\;\rm{cm}\) \(4{,}0\) \(6{,}0\) \(8{,}0\) \(10{,}0\) \(15{,}0\) \(15{,}0\) \(15{,}0\)
\(U\;\rm{in}\;\rm{kV}\) \(24\) \(24\) \(24\) \(24\) \(24\) \(12\) \(6{,}0\)
\(F\;\rm{in}\;\rm{mN}\) \(5{,}92\) \(3{,}30\) \(1{,}91\) \(1{,}23\) \(0{,}55\) \(0{,}14\) \(0{,}03\)

Zunächst wird bei konstanter Spannung \(U = 24\,\rm{kV}\) der Zusammenhang zwischen dem Kraftbetrag \(F\) und dem Abstand \(r\) untersucht.

a)Begründe mithilfe der gegebenen Messwerte, dass \(F\) und \(r\) nicht indirekt proportional (antiproportional) zueinander sind. (3 BE)

Abb. 2 Diagramm zu Teilaufgabe b)

b)Um den Zusammenhang von \(F\) und \(r\) genauer zu untersuchen, ist nebenstehendes, noch unvollständiges Diagramm erstellt worden.

Tragen die beiden fehlenden Messpunkte in das Diagramm ein.

Gib unter Bezugnahme auf das Diagramm den Zusammenhang an, der zwischen \(F\) und \(r\) vermutet werden kann. Vernachlässige dabei zunächst Messung 1. (6 BE)

c)Erkläre für Messung 1 die Abweichung von dem in Teilaufgabe b) vermuteten Zusammenhang zwischen \(F\) und \(r\). (3 BE)

d)Nun wird die Abhängigkeit des Kraftbetrags \(F\) von der Spannung \(U\) bei festem Abstand untersucht.

Leite ausgehend vom COULOMB-Gesetz den Zusammenhang zwischen \(F\) und \(U\) her.

Weise nach, dass das Ergebnis im Einklang mit den gemessenen Werten steht. (6 BE)

 

Mithilfe des COULOMB-Gesetzes kann aus den Messwerten ein Näherungswert \({\varepsilon _{{\rm{0,Exp}}}}\) für die elektrische Feldkonstante ermittelt werden. Beide Kugeln besitzen jeweils eine Kapazität von \(1{,}67\,\rm{pF}\).

e)Berechne exemplarisch für \(r=8{,}0\,\rm{cm}\) den Wert \({\varepsilon _{{\rm{0,Exp}}}}\).

Ermittle die prozentuale Abweichung vom Literaturwert für \({\varepsilon _{\rm{0}}}\). (6 BE)

Ein Grund für die in Teilaufgabe e) berechnete Abweichung ist die Luftfeuchtigkeit, die zu einer näherungsweise gleich großen Teilentladung der beiden Kugeln führt.

f)Berechne für \(r=8{,}0\,\rm{cm}\) die Ladungsänderung \(\Delta Q\) pro Kugel, die den gemessenen Wert von \(F\) erklärt. [zur Kontrolle: \(\Delta Q = 3{,}2\,\rm{nC}\)] (5 BE)

Abb. 3 Stromstärke in Abhängigkeit von der Zeit während des Entladens

g)Nun wird eine der Kugeln über ein empfindliches Stromstärkemessgerät entladen und der zeitliche Verlauf der Stromstärke gemessen.

Beschreibe ein Verfahren, um aus nebenstehendem Diagramm die Ladung der Kugel näherungsweise zu ermitteln.

Beurteile, ob Sie dieses Verfahren genau genug durchführen können, um die in Teilaufgabe f) berechnete Ladungsänderung nachweisen zu können. (5 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Bei einer indirekten Proportionalität müsste eine Produktgleichheit von \(F\) und \(r\) vorliegen. Wir überprüfen dies anhand der Messungen 2 und 5:

Messung 2: \({F_2} \cdot {r_2} = 3{,}30 \cdot {10^{ - 3}}\,{\rm{N}} \cdot 6{,}0\,{\rm{cm}} = 1{,}98 \cdot {10^{ - 2}}\,{\rm{Ncm}}\)

Messung 5: \({F_5} \cdot {r_5} = 0{,}55 \cdot {10^{ - 3}}\,{\rm{N}} \cdot 15{,}0\,{\rm{cm}} = 0{,}825 \cdot {10^{ - 2}}\,{\rm{Ncm}}\)

Aus diesem Vergleich kann man ersehen, dass keine Produktgleichheit vorliegt.

Abb. 4 Diagramm zur Lösung von Teilaufgabe b)

b)Zuerst ergänzen wir die Tabelle um eine weitere Zeile und berechnen für die Messungen 1 bis 5 die Werte für \(\frac{1}{r^2}\).

Tab. 2 Messwerte
Messung 1 2 3 4 5
\(r\;\rm{in}\;\rm{cm}\) \(4{,}0\) \(6{,}0\) \(8{,}0\) \(10{,}0\) \(15{,}0\)
\(U\;\rm{in}\;\rm{kV}\) \(24\) \(24\) \(24\) \(24\) \(24\)
\(F\;\rm{in}\;\rm{mN}\) \(5{,}92\) \(3{,}30\) \(1{,}91\) \(1{,}23\) \(0{,}55\)
\(\frac{1}{r^2}\;\rm{in}\;\rm{\frac{1}{m^2}}\) \(625\) \(278\) \(156\) \(100\) \(44{,}4\)

Nach dem Eintragen der Wertepaare kann man arkennen, dass diese im \(\frac{1}{r^2}\)-\(F\)-Diagramm auf einer Ursprungsgerade liegen. Somit gilt \(F \sim \frac{1}{r^2}\).

c)Im Vergleich zum Kugelabstand \(r=4{,}0\,\rm{cm}\) ist der Kugeldurchmesser von \(2{,}0\,\rm{cm}\) beträchtlich, so dass hier nicht mehr von Punktladungen gesprochen werden kann. Aufgrund der gegenseitigen Influenzierung der Kugeln treten Abweichungen vom COULOMB-Gesetz auf.

d)Die beiden gleich großen Kugeln (d.h. sie haben auch die gleiche Kapazität) werden mit der gleichen Spannung aufgeladen. Wegen der Beziehung \(Q = C \cdot U\;(1)\) und damit auch \(Q \sim U\;(2)\) tragen die beiden Kugeln auch die gleiche Ladung.

Aufgrund des COULOMB-Gesetzes folgt für die Kraft zwischen den Kugeln\[F = \frac{{{Q_1} \cdot {Q_2}}}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0} \cdot {r^2}}}\]Da \(r = \rm{const.}\) ist und \(Q_1 = Q_2\) gilt kann man für die Kraft auch schreiben\[F \sim {Q^2}\]Wegen \((2)\) folgt daraus aber auch\[F \sim {U^2}\]. Dieser Zusammenhang wird auch durch die Messungen 5, 6 und 7 nahegelegt:

Tab. 3 Messwerte
Messung 5 6 7
\(r\;\rm{in}\;\rm{cm}\) \(15{,}0\) \(15{,}0\) \(15{,}0\)
\(U\;\rm{in}\;\rm{kV}\) \(24\) \(12\) \(6{,}0\)
\(F\;\rm{in}\;\rm{mN}\) \(0{,}55\) \(0{,}14\) \(0{,}03\)
\(\frac{F}{U^2}\;\rm{in}\;10^{-13}\rm{\frac{N}{V^2}}\) \(9{,}5\) \(9{,}7\) \(8{,}3\)

e)Zuerst berechnen wir die Ladung \(Q\) auf den Kugeln:\[Q = C \cdot U \Rightarrow Q = 1{,}67 \cdot {10^{ - 12}}\,\frac{{{\rm{As}}}}{{\rm{V}}} \cdot 24 \cdot {10^3}\,{\rm{V}} = 40{,}1 \cdot {10^{ - 9}}\,{\rm{As}}\]Dann berechnen wir \({\varepsilon _{{\rm{0,Exp}}}}\) mit Hilfe des COULOMB-Gesetzes:\[F = \frac{{{Q^2}}}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _{{\rm{0,Exp}}}} \cdot {r^2}}} \Leftrightarrow {\varepsilon _{{\rm{0,Exp}}}} = \frac{{{Q^2}}}{{4 \cdot \pi  \cdot F \cdot {r^2}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{\varepsilon _{{\rm{0}}{\rm{,Exp}}}} = \frac{{{{\left( {40{,}1 \cdot {{10}^{ - 9}}\,{\rm{As}}} \right)}^2}}}{{4 \cdot \pi  \cdot 1{,}91 \cdot {10^{ - 3}}\,{\rm{N}} \cdot {{\left( {8{,}0 \cdot {{10}^{ - 2}}\,{\rm{m}}} \right)}^2}}} = 10{,}5 \cdot {10^{ - 12}}\,\frac{{{{\left( {{\rm{As}}} \right)}^2}}}{{{\rm{N}} \cdot {{\rm{m}}^2}}}\]Wir überprüfen noch die Maßeinheiten:\[\left[ \varepsilon _{{\rm{0,Exp}}} \right]=\frac{{{{\left( {{\rm{As}}} \right)}^2}}}{{{\rm{N}} \cdot {{\rm{m}}^2}}} = \frac{{{\rm{As}}}}{{\rm{m}}} \cdot \frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{Nm}}}} = \frac{{{\rm{As}}}}{{\rm{m}}} \cdot \frac{{{\rm{As}}}}{{\rm{J}}} = \frac{{{\rm{As}}}}{{\rm{m}}} \cdot \frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{VAs}}}} = \frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{Vm}}}}\]Die Messung ergibt also einen Wert von \({\varepsilon _{{\rm{0,Exp}}}} = 10{,}5 \cdot {10^{ - 12}}\,\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{Vm}}}}\). Für die prozentuale Abweichung dieses Wertes vom Literaturwert ergibt sich mit \({\varepsilon _0} = 8{,}85 \cdot {10^{ - 12}}\,\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{Vm}}}}\)\[p\%  = \frac{{10{,}5 \cdot {{10}^{ - 12}} - 8{,}85 \cdot {{10}^{ - 12}}}}{{8{,}85 \cdot {{10}^{ - 12}}}} = 0{,}186 = 18{,}6\% \]

f)Wir berechnen die Ladung \(Q^{*}\) mit dem Literaturwert von \({\varepsilon _{\rm{0}}}\) ebenfalls wieder mit dem COULOMB-Gesetz:\[F = \frac{{Q{*^2}}}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0} \cdot {r^2}}} \Leftrightarrow Q* = \sqrt {F \cdot 4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0} \cdot {r^2}} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[Q^* = \sqrt {1{,}91 \cdot 1{0^{ - 3}}\,{\rm N} \cdot 4 \cdot \pi  \cdot 8{,}85 \cdot {10^{ - 12}}\,\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{Vm}}}} \cdot {{\left( {8{,}0 \cdot {{10}^{ - 2}}\,{\rm{m}}} \right)}^2}}  = 36{,}9 \cdot {10^{ - 9}}\,{\rm{As}}\]Wir überprüfen noch die Maßeinheiten:\[\left[ {{Q^*}} \right] = \sqrt {{\rm{N}} \cdot \frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{Vm}}}} \cdot {{\rm{m}}^2}}  = \sqrt {{\rm{Nm}} \cdot \frac{{{\rm{As}}}}{{\rm{V}}}}  = \sqrt {{\rm{J}} \cdot \frac{{{\rm{As}}}}{{\frac{{\rm{J}}}{{{\rm{As}}}}}}}  = \sqrt {{{\left( {{\rm{As}}} \right)}^2}}  = {\rm{As}}\]Schließlich berechnen wir die Ladungsänderung\[\Delta Q = Q - Q^* \Rightarrow \Delta Q = 40{,}1\;{\rm{nC}} - 36{,}9\;{\rm{nC}} = 3{,}2\;{\rm{nC}} = 3{,}2 \cdot {10^{ - 9}}\,{\rm{C}}\]

Abb. 5 Diagramm zur Lösung von Teilaufgabe g)

g)In dem Diagramm entspricht ein Kästchen (grün markiert) einer Ladung von \({Q_{\rm{K}}} = 4 \cdot {10^{ - 9}}\,{\rm{A}} \cdot 0{,}1\,{\rm{s}} = 0{,}4 \cdot {10^{ - 9}}\,{\rm{As}}\). Der in Teilaufgabe f) berechnete Ladungsunterschied von \(\Delta Q = 3{,}2 \cdot {10^{ - 9}}\,{\rm{As}}\) entspricht in dem Diagramm daher 8 grünen Kästchen. Einen Unterschied von acht Kästchen kann man mit der Abzählmethode einigermaßen sicher feststellen.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Ladungen & elektrisches Feld

Kondensator & Kapazität