Elektrizitätslehre

Ladungen & Felder - Oberstufe

C

  • Wie lautet das Gesetz von COULOMB?
  • Wie ist das Feld im Innern eines Plattenkondensators?
  • Wie viel Energie kann ein Kondensator speichern?

COULOMB-Gesetz (Abitur BY 2006 LK A5-1)

Aufgabe

Mit dem abgebildeten Versuchsaufbau soll die Gültigkeit des Coulomb-Gesetzes im Schulversuch bestätigt werden. Eine an einem Isolierstab angebrachte massive Aluminiumkugel \(K_1\) (Durchmesser (\(d = 38\mathrm{mm}\)) befindet sich zunächst in großer Entfernung von einer identischen Kugel \(K_2\), die über einen Isolierstab an einem Kraftsensor \(S\) befestigt ist. Die beiden anfangs elektrisch neutralen Kugeln werden nun mit Hilfe einer Hochspannungsquelle (\(U = 16\mathrm{kV}\)) gleich stark positiv aufgeladen (Minuspol der Hochspannungsquelle geerdet). Bei Annäherung von \(K_1\) an \(K_2\) wird die auf \(K_2\) wirkende Kraft \(F\) in Abhängigkeit vom Mittelpunktsabstand \(r\) gemessen.

Die Messergebnisse sind in folgender Tabelle zusammengefasst:

\(r\;{\rm{in}}\;{\rm{cm}}\) \(4,0\) \(5,0\) \(6,0\) \(8,0\) \(10\) \(15\) \(20\) \(25\)
\(F\;{\rm{in}}\;{\rm{mN}}\) \(3,4\) \(2,8\) \(2,2\) \(1,3\) \(0,85\) \(0,41\) \(0,20\) \(0,11\)

a)Tragen Sie die Messwerte in ein \(\frac{1}{r^2}\)-\(F\)-Diagramm ein.

Begründen Sie, dass man mit dieser Darstellung leicht prüfen kann, ob sich die Kraft zwischen den Kugeln durch das Coulomb-Gesetz beschreiben lässt. (7 BE)

b)Bei kleinen Abständen ergeben sich kleinere Kräfte, als nach dem Coulomb-Gesetz zu erwarten sind.

Geben Sie hierfür eine Erklärung an. (4 BE)

c)Berechnen Sie mit Hilfe der Auswertung der Messreihe den Wert für die Ladung \(Q\) einer Kugel. (5 BE)

d)Berechnen Sie unter Anwendung des COULOMB-Potentials die Ladung \(Q'\) einer Kugel, die sich aus der beim Ladevorgang angelegten Spannung von \(16 \mathrm{kV}\) rechnerisch ergeben müsste. Hierbei ist von idealen Bedingungen auszugehen, d. h. der Kugelradius ist deutlich kleiner als alle auftretenden Abstände. [zur Kontrolle: \(Q' = 34\mathrm{nAs}\)] (5 BE)

e)Bestimmen Sie den Anteil der Elektronen der massiven Aluminiumkugel, der beim Ladevorgang (Ladung \(Q'\)) abfließt. (6 BE)

Lösung

Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a) 

\(r\;{\rm{in}}\;{\rm{cm}}\) \(4,0\) \(5,0\) \(6,0\) \(8,0\) \(10\) \(15\) \(20\) \(25\)
\(\frac{1}{{{r^2}}}\;{\rm{in}}\;\frac{1}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}}}\) \(0,063\) \(0,040\) \(0,028\) \(0,016\) \(0,010\) \(0,0044\) \(0,0025\) \(0,0016\)
\(F\;{\rm{in}}\;{\rm{mN}}\) \(3,4\) \(2,8\) \(2,2\) \(1,3\) \(0,85\) \(0,41\) \(0,20\) \(0,11\)

Würde eine \(\frac{1}{r^2}\)-Abhängigkeit der Kraft vorliegen, so müsste sich in dem obigen Diagramm eine Ursprungsgerade ergeben. Wie man sieht, ist dies nicht der Fall.

b)Die Kugeln influenzieren sich gegenseitig. Dadurch sind die beiden Kugeln nicht mehr durch Punktladungen zu ersetzen, für welche das COULOMB-Gesetz nur gilt.

Durch die abstoßende Wirkung der gleichnamigen Ladungen ist die Entfernung der Ladungsschwerpunkte größer als der geometrische Abstand der Kugelmittelpunkte. Die auftretenden Kräfte sind daher kleiner.

c)Für größere \(r\)-Werte (kleinere \(\frac{1}{r^2}\)-Werte) wird die rote Messkurve aus Teilaufgabe a) durch eine Ausgleichsgerade (lila) angenähert. Für die Steigung \(m\) der Ausgleichsgeraden erhält man\[m = \frac{F}{{\frac{1}{{{r^2}}}}} \Rightarrow m = \frac{{4,0 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{N}}}}{{0,0475 \cdot {{10}^4}\frac{1}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}}}{\mkern 1mu}  = 8,4 \cdot {10^{ - 6}}{\rm{N}} \cdot {{\rm{m}}^{\rm{2}}}\]Für die COULOMB-Kraft zwischen den beiden Kugeln der Ladung \(Q\) gilt\[{F = \frac{1}{{4\pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{{Q^2}}}{{{r^2}}} \Rightarrow Q = \sqrt {\frac{F}{{\frac{1}{{{r^2}}}}} \cdot 4\pi  \cdot {\varepsilon _0}}  = \sqrt {m \cdot 4\pi  \cdot {\varepsilon _0}} }\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{Q = \sqrt {8,4 \cdot {{10}^{ - 6}}{\rm{N}} \cdot {{\rm{m}}^{\rm{2}}} \cdot 4\pi  \cdot 8,85 \cdot {{10}^{ - 12}}\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{{\rm{V}} \cdot {\rm{m}}}}}   = 3,1 \cdot {{10}^{ - 8}}{\rm{As}}}\]

d)Für das COULOMB-Potential einer Kugel mit der Ladung \(Q’\) gilt\[\varphi (r) = \frac{1}{{4\pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{Q'}}{r}{\rm{ mit }}\varphi (\infty ) = 0\]Dieses Potential muss für \(r = R\) (Kugelradius) gleich der Ladespannung (gegenüber der Erde) sein:\[{U = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{Q'}}{R} \Leftrightarrow Q' = U \cdot 4\pi  \cdot {\varepsilon _0} \cdot R}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{Q' = 16 \cdot {{10}^3}{\rm{V}} \cdot 4\pi  \cdot 8,85 \cdot {{10}^{ - 12}}\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{Vm}}}} \cdot 19 \cdot {{10}^{ - 3}}\frac{1}{{\rm{m}}} = 3,4 \cdot {{10}^{ - 8}}{\rm{As}}}\]

e)Für die Zahl \(N_1\) der abfließenden Elektronen gilt\[{N_1} = \frac{{Q'}}{e} \Rightarrow {N_1} = \frac{{3,4 \cdot {{10}^{ - 8}}{\rm{As}}}}{{1,6 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}}}} = 2,1 \cdot {10^{11}}\]Zur Berechnung der Zahl \(N_2\) der Elektronen in der Aluminiumkugel vom Radius \(R\) berechnet man zuerst die Zahl der Aluminiumatome in der Kugel:\[{{N_{{\rm{Al}}}} = \frac{{{m_{{\rm{Kugel}}}}}}{{{M_A}(\rm{Al})}} = \frac{{{\rho _{{\rm{Al}}}}}}{{27 \cdot u}} = \frac{{{\rho _{{\rm{Al}}}} \cdot \frac{4}{3} \cdot {R^3} \cdot \pi }}{{27 \cdot u}} \Rightarrow {N_{{\rm{Al}}}} = \frac{{2,70 \cdot {{10}^3}\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot \frac{4}{3} \cdot {{\left( {19 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{m}}} \right)}^3} \cdot \pi }}{{27 \cdot 1,66 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}}}} = 1,73 \cdot {{10}^{24}}}\]Die Kernladungszahl von Aluminium ist \(Z_{\rm{Al}}=13\). Also ist die Zahl der Elektronen in der Aluminiumkugel\[{N_2} = {Z_{{\rm{Al}}}} \cdot {N_{{\rm{Al}}}} \Rightarrow {N_2} = 13 \cdot 1,73 \cdot {10^{24}} = 2,3 \cdot {10^{25}}\]Somit gilt für das gesuchte Verhältnis\[\frac{{{N_1}}}{{{N_2}}} = \frac{{2,1 \cdot {{10}^{11}}}}{{2,3 \cdot {{10}^{25}}}} = 9,1 \cdot {10^{ - 15}}\]