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Aufgabe

Faustregel für die Gewitterentfernung

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Verglaster Fels an besonders ausgesetzten Punkten zeugt von häufigen Blitzeinschlägen. Die ungeheure Hitze des Blitzes lässt den Fels millimeterdick schmelzen. Anschließend verglast die Felsoberfläche. Bei der Hauptentladung herrscht im Blitzkanal kurzzeitig eine Temperatur von bis zu \(30000{\rm{^\circ C}}\). Diese plötzliche extrem hohe Erwärmung bewirkt eine explosionsartige Ausdehnung der Luft, die wir als Donner hören können.

Weil sich der Schall mit \({330\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\) viel langsamer ausbreitet, als Licht (Lichtgeschwindigkeit \({3,0 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\)) nehmen wir den Donner meist erst einige Sekunden nach dem Blitz wahr. Die Gefahr, vom Blitz getroffen zu werden, nimmt mit wachsender Entfernung vom Gewitterzentrum ab.

Erstelle eine Faustregel, mit der du abschätzen kannst, wie weit du vom Gewitterzentrum entfernt bist.

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Laufzeit \(t_{\rm{Schall}}\) des Schalls: \[{t_{{\rm{Schall}}}} = \frac{x}{{{c_{{\rm{Schall}}}}}}\] Laufzeit \(t_{\rm{Licht}}\) des Lichts: \[{t_{{\rm{Licht}}}} = \frac{x}{{{c_{{\rm{Licht}}}}}}\] Laufzeitdifferenz \({\Delta t}\) der beiden Signale: \[{\Delta t = {t_{{\rm{Schall}}}} - {t_{{\rm{Licht}}}} = \frac{x}{{{c_{{\rm{Schall}}}}}} - \frac{x}{{{c_{{\rm{Licht}}}}}} = x \cdot \left( {\frac{1}{{{c_{{\rm{Schall}}}}}} - \frac{1}{{{c_{{\rm{Licht}}}}}}} \right) = x \cdot \frac{{{c_{{\rm{Licht}}}} - {c_{{\rm{Schall}}}}}}{{{c_{{\rm{Schall}}}} \cdot {c_{{\rm{Licht}}}}}}}\] Löst man die letzte Beziehung nach \(x\) auf, so folgt \[x = \Delta t \cdot \frac{{{c_{{\rm{Schall}}}} \cdot {c_{{\rm{Licht}}}}}}{{{c_{{\rm{Licht}}}} - {c_{{\rm{Schall}}}}}}\] Setzt man die gegebenen Werte für die Geschwindigkeiten ein, so ergibt sich \[{x = \Delta t \cdot \frac{{330\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 3,0 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{3,0 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} - 330\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = \Delta t \cdot 330\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = \Delta t \cdot 0,33\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}} \approx \frac{{\Delta t}}{3}\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}}\] Diese Formel begründet die bekannte Faustformel für die Entfernung eines Gewitters: "Merke dir die Anzahl der Sekunden, die zwischen dem Blitz und dem Eintreffen des Donners vergehen. Teile diese Anzahl durch 3, dann bekommst du die Entfernung des Gewitters in Kilometern."