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Versuche

MILLIKAN-Versuch - Steige-Sink-Methode (Simulation)

Das Ziel der Simulation

Mit Hilfe dieser Simulation kannst du dir selbstständig die Ergebnisse des MILLIKAN-Versuchs erarbeiten.

Aufgaben Aufgaben
Public domain, via Wikimedia Commons Stefan Pohl (selbst fotografiert)
Abb. 1 In der Schule üblicher Aufbau des MILLIKAN-Versuchs

Der nach dem amerikanischen Physiker Robert Andrews MILLIKAN (1868 - 1953) benannte MILLIKAN-Versuch ist nicht nur von großer historischer Bedeutung für die Physik (vgl. Geschichte der Bestimmung der Elementarladung), sondern auch einer der zentralen Versuche des Physikunterrichts in der Oberstufe.

Obwohl der prinzipielle Versuchsaufbau relativ einfach ist, sind sowohl die Versuchsdurchführung als auch die theoretischen Überlegungen, die für die Auswertung benötigt werden, teilweise recht komplex. Aus diesem Grund bieten wir auf LEIFIphysik vier verschiedene Methoden der Durchführung einschließlich der jeweiligen Theorie an. Zu jeder Methode gibt es eine angepasste Simulation sowie weitere Hilfsmittel. Mit Hilfe der Simulation können dann selbstständig "Messwerte" aufgenommen und diese dann ausgewertet werden.

Aufbau
Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Skizze des prinzipiellen Aufbaus des MILLIKAN-Versuchs

Der prinzipielle Aufbau des MILLIKAN-Versuchs ist recht einfach; er besteht aus zwei horizontal liegenden parallelen Platten mit dem Abstand \(d\), an die eine elektrische Quelle angeschlossen ist. Die elektrische Quelle kann sowohl ein- und ausgeschaltet als auch umgepolt werden, die angelegte Spannung \(U\) ist regelbar und wird mit einem Voltmeter gemessen. Der Raum zwischen den Platten kann mit einer Lampe beleuchtet und mit einem Mikroskop beobachtet werden; darin eingeblendet ist eine Skala, in der die einzelnen Skalenstriche den Abstand \(s\) haben. In den Raum zwischen den Platten können mit einem Zerstäuber kleine Öltröpfchen gesprüht werden, die sich durch die Reibung aufladen und deren Bewegung mit Hilfe des Mikroskops beobachtet werden kann.

Hinweis: Wenn du den Raum zwischen den Platten durch das Mikroskop beobachtest, werden oben und unten vertauscht: Bewegt sich ein Öltröpfchen in der Realität nach unten zur Erde hin, so beobachtest du im Mikroskop eine Bewegung des Öltröpfchens nach oben. In der Simulation kannst du dies verhindern, indem du die Ansicht von "Mikroskop" zu "Realität" änderst.

Theorie der Steige-Sink-Methode

Bei der Steige-Sink-Methode wird ein Öltröpfchen

  • zuerst durch Anlegen einer Spannung nach oben bewegt (Steigen im elektrischen Feld) und
  • dann bei gleich großer, aber umgekehrt gepolter Spannung nach unten bewegt (Sinken im elektrischen Feld).

Wenn man die Spannung, die an den Platten anliegt, und die Geschwindigkeiten des Tröpchens beim Steigen und beim Sinken misst, kann man die Ladung des Öltröpfchens bestimmen.

Auf ein elektrisch geladenes Öltröpfchen in der Versuchsanordnung des MILLIKAN-Versuchs können die folgenden Kräfte wirken:

Gewichts- und Auftriebskraft
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Abb. 3 Richtungen von Gewichts- und Auftriebskraft sowie reduzierter Gewichtskraft

Da sich die Versuchsanordnung im Gravitationsfeld der Erde befindet, wirkt auf das Öltröpfchen stets die Gewichtskraft \(F_{\rm{G}} = m \cdot g\) (\(m\): Masse des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung) nach unten. Die Masse \(m\) des kugelförmigen Öltröpfchens kann man mit Hilfe der bekannten Formeln \(m = \rho  \cdot V\) und \(V_{\rm{Kugel}} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3}\) durch \(m = \rho _{\rm{Öl}} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3}\) ausdrücken. Damit ergibt sich für die Gewichtskraft \(F_{\rm{G}} = \rho _{\rm{Öl}} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g\) (\(\rho _{\rm{Öl}}\): Dichte von Öl; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung).

Da sich weiter zwischen den beiden Platten Luft befindet, wirkt auf das Öltröpfchen zusätzlich stets die Auftriebskraft \(F_{\rm{A}} = \rho _{\rm{Luft}} \cdot V \cdot g\) (\(\rho _{\rm{Luft}}\): Dichte von Luft; \(V\): Volumen des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung) nach oben. Auch hier kann man das Volumen des Öltröpfchens mit Hilfe seines Radius ausdrücken. Damit ergibt sich für die Auftriebskraft \(F_{\rm{A}} = \rho _{\rm{Luft}} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g\) (\(\rho _{\rm{Luft}}\): Dichte von Luft; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung).

Obwohl die Auftriebskraft \(F_{\rm{A}}\) gegenüber der Gewichtskraft \(F_{\rm{G}}\) sehr klein ist und eigentlich vernachlässigt werden kann (vgl. untenstehende Aufgabe), wird häufig mit einer um die Auftriebskraft reduzierten Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}} = F_{\rm{G}} - F_{\rm{A}}\) gerechnet; man erhält dann (\(\rho ' = \rho _{\rm{Öl}} -\rho _{\rm{Luft}}\): reduzierte Dichte; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung)\[F_{\rm{G'}} = \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g\]

Wie groß sind Gewichts- und Auftriebskraft?
Aufgabe

Berechne für einen Tröpfchenradius von \(r = 5{,}00 \cdot {10^{ - 7}}\,{\rm{m}}\), \({\rho _{{\rm{Öl}}}} = 875{,}3\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) und \({\rho _{\rm{Luft}}} = 1{,}29\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) die Beträge von Gewichtskraft \(F_{\rm{G}}\), Auftriebskraft \(F_{\rm{A}}\) und reduzierter Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}}\).

Lösung

\[{F_{\rm{G}}} = \rho _{\rm{Öl}} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g \Rightarrow {F_{\rm{G}}} = 875{,}3\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {\left( {5{,}00 \cdot {{10}^{ - 7}}\,{\rm{m}}} \right)^3} \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = 4{,}49 \cdot {10^{ - 15}}\,{\rm{N}}\] \[{F_{\rm{A}}} = {\rho _{{\rm{Luft}}}} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g \Rightarrow {F_{\rm{A}}} = 1{,}29\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {\left( {5{,}00 \cdot {{10}^{ - 7}}\,{\rm{m}}} \right)^3} \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = 6{,}63 \cdot {10^{ - 18}}\,{\rm{N}}\] \[{F_{\rm{G'}}} = \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g \Rightarrow {F_{\rm{G'}}} = \left( 875{,}3-1{,}29\right)\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {\left( {5{,}00 \cdot {{10}^{ - 7}}\,{\rm{m}}} \right)^3} \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = 4{,}48 \cdot {10^{ - 15}}\,{\rm{N}}\]

Begründe durch eine Rechnung, dass unabhängig von allen anderen Größen für \(\rho _{\rm{Öl}} = 875{,}3\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) und \({\rho _{\rm{Luft}}} = 1{,}29\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) die Vernachlässigung des Auftriebs ungefähr \(0{,}1\%\) Ungenauigkeit bedeutet.

Lösung

\[p\% = \frac{{{\rho _{{\rm{Öl}}}}}}{{{\rho _{{\rm{Öl}}}} - {\rho _{{\rm{Luft}}}}}} = \frac{{875{,}3\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}}{{875{,}3\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} - 1{,}29\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}} = 1{,}001 = 100{,}1\% =100\% + 0{,}1\%\]

Elektrische Kraft
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Abb. 4 Richtung der elektrischen Kraft auf ein negativ geladenes Öltröpfchen in Abhängigkeit von der Polung der Spannung an den Platten

Liegt an den beiden Platten eine Spannung an, so wirkt auf ein geladenes Öltröpfchen zusätzlich die elektrische Kraft \({F_{\rm{el}}} = q \cdot E\) (\(q\): Ladung des Tröpfchens; \(E\): Elektrische Feldstärke zwischen den Platten). Die elektrische Feldstärke \(E\) kann man mit Hilfe der Formel \(E = \frac{U}{d}\) ersetzen. Damit ergibt sich für die elektrische Kraft (\(q\): Ladung des Tröpfchens; \(U\): Spannung an den Platten; \(d\): Plattenabstand)\[{F_{{\rm{el}}}} = q \cdot \frac{U}{d}\]

Da die Platten horizontal angeordnet sind, sind die elektrische Kraft und die Gewichtskraft stets parallel gerichtet. Durch Umpolen der an die Platten angeschlossenen elektrischen Quelle kann die elektrische Kraft nach oben oder nach unten wirken.

Wie groß ist die benötigte Spannung?
Aufgabe

Durch vorhergegangene Experimente wusste MILLIKAN, dass die Öltröpfchen Ladungen in der Größenordnung von ca. \(1 \cdot {10^{ - 19}}\,{\rm{As}}\) tragen.

Berechne für einen Plattenabstand von \(d = 6{,}00 \cdot {10^{ - 3}}\,{\rm{m}}\), welche Spannung \(U\) an den Platten anliegen muss, um ein Öltröpfchen mit der reduzierten Gewichtskraft von \(4{,}48 \cdot {10^{ - 15}}\,{\rm{N}}\) in der Schwebe zu halten.

Lösung

\[F_{\rm{el}} = F_{\rm{G'}} \Leftrightarrow q \cdot \frac{U}{d} = F_{\rm{G'}} \Leftrightarrow U = \frac{{F_{\rm{G'}} \cdot d}}{q}\] Einsetzen der gegebenen Werte liefert \[U = \frac{{4{,}48 \cdot {{10}^{ - 15}}\,{\rm{N}} \cdot 6{,}00 \cdot {{10}^{ - 3}}\,{\rm{m}}}}{{1 \cdot {{10}^{ - 19}}\,{\rm{As}}}} = 269\,{\rm{V}}\]

STOKESsche Reibungskraft
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Abb. 5 Richtung der STOKESschen Reibungskraft in Abhängigkeit von der Bewegungsrichtung des Öltröpfchens

Bewegt sich das Öltröpfchen durch die Luft im Kondensator, so wirkt auf das Öltröpfchen die STOKESsche Reibungskraft\[{F_{\rm{R}}} = 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v\](\(\eta\): Zähigkeit der Luft; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(v\): Geschwindigkeit des Tröpfchens) (Gesetz von STOKES, George Gabriel STOKES (1819 - 1903)). Diese ist eine aus der Strömungslehre für laminare Strömungen bekannte Kraft auf kugelförmige Körper in einem ‚zähen’ Medium mit der Zähigkeit \(\eta\), die stets der Bewegungsrichtung des Körpers entgegen wirkt. Die Kraft wächst zudem mit der Geschwindigkeit und zwar so lange, bis sich der Körper nur noch mit konstanter Geschwindigkeit bewegt (vgl. untenstehende Aufgabe).

Wie groß ist die Geschwindigkeit, die beobachtet werden muss?
Aufgabe

Beim Fall eines Öltröpfchens allein unter dem Einfluss der Gewichtskraft stellt sich nach kurzer Zeit ein Kräftegleichgewicht zwischen der Gewichtskraft und der STOKESschen Reibungskraft ein.

Berechne für \(r = 5{,}00 \cdot {10^{ - 7}}\,{\rm{m}}\) und \(\eta = 1{,}81 \cdot {10^{ - 5}}\,\frac{{{\rm{N}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}\), welche Geschwindigkeit \(v\) ein Öltröpfchen mit der reduzierten Gewichtskraft von \(4{,}48 \cdot {10^{ - 15}}\,{\rm{N}}\) beim Fallen erreicht.

Lösung

\[{F_{\rm{R}}} = {F_{{\rm{G'}}}} \Leftrightarrow 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v = {F_{{\rm{G'}}}} \Leftrightarrow v = \frac{{{F_{{\rm{G'}}}}}}{{6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r}}\]\[v = \frac{{4{,}48 \cdot {{10}^{-15}}\,{\rm{N}}}}{{6 \cdot \pi \cdot 1{,}81 \cdot {{10}^{-5}}\,\frac{{{\rm{N}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}} \cdot 5{,}00 \cdot {{10}^{-7}}\,{\rm{m}}}} = 2{,}63 \cdot {10^{-5}}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

CUNNINGHAM-Korrektur

Beim Zerstäuben von Öl erhält man so kleine Tröpfchen, dass ihr Radius in der gleichen Größenordnung wie die mittlere freie Weglänge der Luftmoleküle von etwa \({10^{-7}}{\rm{m}}\) liegt. Die Tröpfchen bewegen sich deshalb nicht wie Kugeln durch eine Front von Luftmasse, sondern manövrieren sich zwischen den einzelnen Luftmolekülen hindurch und erfahren durch Stöße mit einzelnen Molekülen zusätzliche Kräfte. Somit gilt das Gesetz von STOKES beim MILLIKAN-Versuch nur noch bedingt.

Erstaunlicherweise lässt sich diese komplexe Situation durch die sogenannte CUNNINGHAM-Korrektur, die im Jahr 1910 vom britischen Mathematiker Ebenezer CUNNINGHAM (1881 - 1977) abgeleitet wurde, durch einen Korrekturfaktor für die Zähigkeit der Luft berechnen, der aber für jeden Tröpfchenradius verschiedenen ist. Als Erfahrungswert erhält man für diese korrigierte Zähigkeit von Luft für Raumtemperatur und Normaldruck in Abhängigkeit vom Tröpfchenradius \(\eta\left(r\right) = \frac{1}{{\left( {1+\frac{{6{,}25 \cdot 10^{-8}\,{\rm{m}}}}{r}} \right)}} \cdot \eta \) (\(r\): Radius des Tröpfchens). Je kleiner also die Tröpfchen sind, desto größer ist die Abweichung vom STOKESschen Gesetz (vgl. untenstehende Aufgabe).

Wir zeigen weiter unten, wie man diesen Effekt bei der Auswertung der konkreten Messwerte berücksichtigt.

Wie groß ist der Einfluss der CUNNINGHAM-Korrektur?
Aufgabe

Begründe durch eine Rechnung, dass für \(\eta _{\rm{Luft}} = 1{,}81 \cdot 10^{-5}\,\frac{{\rm{N} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}\) und einem Tröpfchenradius von \(r = 5{,}00 \cdot {10^{ - 7}}\,{\rm{m}}\) der Korrekturfaktor in der CUNNINGHAM-Korrektur ca. \(0{,}89\) beträgt und sich damit \(\eta \left(r\right) = 1{,}61 \cdot 10^{-5}\,\frac{{{\rm{N}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}\) ergibt.

Lösung

\[\frac{1}{{\left( {1 + \frac{{6{,}25 \cdot {{10}^{ - 8}}\,{\rm{m}}}}{{5{,}00 \cdot {{10}^{ - 7}}\,{\rm{m}}}}} \right)}} = 0{,}89\]\[\eta\left(r\right) = \frac{{1{,}81 \cdot {{10}^{ - 5}}\,\frac{{{\rm{N}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}}}{{\left( {1 + \frac{{6{,}25 \cdot {{10}^{ - 8}}\,{\rm{m}}}}{{5{,}00 \cdot {{10}^{ - 7}}\,{\rm{m}}}}} \right)}} = 1{,}61 \cdot 10^{-5}\,\frac{{{\rm{N}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}\]

Steigen im elektrischem Feld
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Abb. 6 Kräftegleichgewicht beim Steigen eines negativ geladenen Öltröpfchens im elektrischen Feld

Zuerst wird an die Platten eine Spannung \(U\) angelegt und so eingestellt, dass das Öltröpfchen nach oben steigt (Steigen im elektrischen Feld). Für ein negativ geladenes Tröpfchen muss die obere Platte positiv und die untere Platte negativ geladen werden.

Nach einer kaum beobachtbaren Beschleunigungsphase steigt das Tröpfchen mit konstanter Geschwindigkeit \({{\vec v}_1}\) nach oben. Auf das Tröpfchen wirken

  • nach oben die elektrische Kraft \({{\vec F}_{{\rm{el}}}}\)
  • nach unten die (reduzierte) Gewichtskraft \({\vec F_{{\rm{G'}}}}\) sowie die der Bewegung entgegengerichtete STOKESsche Reibungskraft \({{\vec F}_{{\rm{R,1}}}}\).

Die STOKESsche Reibungskraft hat sich dabei so "eingestellt", dass auf das Tröpfchen keine resultierende Kraft mehr wirkt und folgendes Kräftegleichgewicht herrscht:

Die Summe aus (reduzierter) Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}} = \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g\) und STOKESscher Reibungskraft \(F_{\rm{R,1}} = 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot {v_1}\) ist betragsgleich der elektrischen Kraft \(F_{\rm{el}} = q \cdot \frac{U}{d}\):\[\begin{eqnarray} F_{\rm{R,1}} + F_{\rm{G'}} &=& F_{\rm{el}} \\ 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot {v_1} +  \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g &=& q \cdot \frac{U}{d} \quad(1)\end{eqnarray}\]

Sinken im elektrischem Feld
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Abb. 7 Kräftegleichgewicht beim Sinken eines negativ geladenen Öltröpfchens im elektrischen Feld

Die Spannung \(U\) wird nun umgepolt, so dass das Tröpfchen jetzt nach unten sinkt (Sinken im elektrischen Feld). Für ein negativ geladenes Tröpfchen ist jetzt die obere Platte negativ und die untere Platte positiv geladen.

Nach einer kaum beobachtbaren Beschleunigungsphase sinkt das Tröpfchen mit konstanter Geschwindigkeit \({{\vec v}_2}\) nach unten. Auf das Tröpfchen wirken

  • nach oben die der Bewegung entgegengerichtete STOKESsche Reibungskraft \({{\vec F}_{{\rm{R,2}}}}\)
  • nach unten die elektrische Kraft \({{\vec F}_{{\rm{el}}}}\) sowie die (reduzierte) Gewichtskraft \({\vec F_{{\rm{G'}}}}\).

Die STOKESsche Reibungskraft hat sich dabei so "eingestellt", dass auf das Tröpfchen keine resultierende Kraft mehr wirkt und folgendes Kräftegleichgewicht herrscht:

Die Summe aus (reduzierter) Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}} = \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g\) und elektrischer Kraft \({F_{{\rm{el}}}} = q \cdot \frac{U}{d}\) ist betragsgleich der STOKESschen Reibungskraft \({F_{\rm{R,2}}} = 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot {v_2}\):\[\begin{eqnarray} F_{\rm{G'}} + F_{\rm{el}} &=& F_{\rm{R,2}} \\ \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g + q \cdot \frac{U}{d} &=& 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot {v_2} \quad(2)\end{eqnarray}\]

Berechnung der Ladung des Tröpfchens

Durch Kombinieren der Gleichungen \((1)\) und \((2)\) (vgl. die untenstehende Aufgabe) erhält man für die gesuchte Ladung \(q\) die Formel\[q = \frac{{9 \cdot \pi \cdot d}}{{2 \cdot U}} \cdot \sqrt {\frac{{{\eta ^3}}}{{\rho ' \cdot g}}} \cdot \sqrt {{v_2} - {v_1}} \cdot \left( {{v_1} + {v_2}} \right) \quad (5)\]Die Größen \(\eta \), \(\rho'=\rho_{\rm{Öl}} - \rho_{\rm{Luft}}\) und \(g\) können aus Tabellen entnommen werden, die Größe \(d\) findet sich in den technischen Daten der Versuchsapparatur und die Größen \(U\), \(v_1\) und \(v_2\) können gemessen werden, so dass sich nun die gesuchte Ladung \(q\) berechnen lässt.

Wie leitet man Gleichung \((5)\) her?
Aufgabe

Hinweis: Bei der Herleitung von Gleichung \((5)\) kann dir ein Computeralgebrasystem wie z.B. GeoGebra CAS gute Dienste leisten. Mit wenigen Befehlen kannst du die gesamte Rechnung online selbst durchführen. Die Lösung findest du hier.

Bringe in Gleichung \((2)\) den Term für die STOKESsche Reibungskraft auf die linke und den für die Elektrische Kraft auf die rechte Seite. Die dadurch neu entstehende Gleichung sei \((2.1)\).

Lösung

\[\begin{eqnarray}\rho ' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g + q \cdot \frac{U}{d} &=& 6 \cdot \pi  \cdot \eta \cdot r \cdot {v_2}\\ \Leftrightarrow \rho ' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g - 6 \cdot \pi \cdot \eta  \cdot r \cdot {v_2} &=&  - q \cdot \frac{U}{d} \quad(2.1)\end{eqnarray}\]

Subtrahiere von Gleichung \((1)\) Gleichung \((2.1)\), fasse beide Seiten der sich ergebenden Gleichung so weit wie möglich zusammen und löse die Gleichung nach der Ladung \(q\) auf. Die dadurch neu entstehende Gleichung sei Gleichung \((3)\).

Lösung

\[\begin{eqnarray}(1) - (2.1):\rho ' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g + 6 \cdot \pi \cdot \eta  \cdot r \cdot {v_1} - \left( {\rho ' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g - 6 \cdot \pi \cdot \eta  \cdot r \cdot {v_2}} \right) &=& q \cdot \frac{U}{d} - \left( { - q \cdot \frac{U}{d}} \right)\\ \Leftrightarrow \rho ' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g + 6 \cdot \pi  \cdot \eta  \cdot r \cdot {v_1} - \rho ' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g + 6 \cdot \pi  \cdot \eta  \cdot r \cdot {v_2} &=& q \cdot \frac{U}{d} + q \cdot \frac{U}{d}\\ \Leftrightarrow 6 \cdot \pi  \cdot \eta  \cdot r \cdot {v_1} + 6 \cdot \pi  \cdot \eta  \cdot r \cdot {v_2} &=& 2 \cdot q \cdot \frac{U}{d}\\ \Leftrightarrow 6 \cdot \pi  \cdot \eta  \cdot r \cdot \left( {{v_1} + {v_2}} \right) &=& 2 \cdot q \cdot \frac{U}{d}\\ \Leftrightarrow q &=& \frac{{3 \cdot \pi  \cdot \eta  \cdot r \cdot \left( {{v_1} + {v_2}} \right) \cdot d}}{U} \quad(3)\end{eqnarray}\]

Addiere zu Gleichung \((1)\) Gleichung \((2.1)\), fasse die linke Seite der sich ergebenden Gleichung so weit wie möglich zusammen und löse die Gleichung nach dem Radius \(r\) auf. Die dadurch neu entstehende Gleichung sei Gleichung \((4)\).

Lösung

\[\begin{eqnarray}(1) + (2.1):\rho ' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g + 6 \cdot \pi  \cdot \eta \cdot r \cdot {v_1} + \rho ' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g - 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot {v_2} &=& q \cdot \frac{U}{d} + \left( { - q \cdot \frac{U}{d}} \right)\\ \Leftrightarrow 2 \cdot \rho ' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g + 6 \cdot \pi  \cdot \eta  \cdot r \cdot {v_1} - 6 \cdot \pi  \cdot \eta  \cdot r \cdot {v_2} &=& 0\\ \Leftrightarrow 2 \cdot \rho ' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g + 6 \cdot \pi  \cdot \eta  \cdot r \cdot \left( {{v_1} - {v_2}} \right) &=& 0\\ \Leftrightarrow 2 \cdot \rho ' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g &=&  - 6 \cdot \pi  \cdot \eta  \cdot r \cdot \left( {{v_1} - {v_2}} \right) &=& 6 \cdot \pi  \cdot \eta  \cdot r \cdot \left( {{v_2} - {v_1}} \right) |:r|:\pi \\ \Leftrightarrow 2 \cdot \rho ' \cdot \frac{4}{3} \cdot {r^2} \cdot g &=& 6 \cdot \eta  \cdot \left( {{v_2} - {v_1}} \right)\\ \Leftrightarrow {r^2} &=& \frac{9}{4} \cdot \frac{{\eta  \cdot \left( {{v_2} - {v_1}} \right)}}{{\rho ' \cdot g}}\\ \Rightarrow r &=& \frac{3}{2} \cdot \sqrt {\frac{{\eta  \cdot \left( {{v_2} - {v_1}} \right)}}{{\rho ' \cdot g}}} \;\;\;(4)\end{eqnarray}\]

Ersetze die Größe \(r\) in Gleichung \((3)\) durch den gleichwertigen Term für \(r\) aus Gleichung \((4)\) und fasse die rechte Seite der neuen Gleichung so weit wie möglich zusammen. Es ergibt sich Gleichung \((5)\).

Lösung

\[(4)\;{\rm{in}}\;(3):q = \frac{{3 \cdot \pi \cdot \eta \cdot \frac{3}{2} \cdot \sqrt {\frac{{\eta \cdot \left( {{v_2} - {v_1}} \right)}}{{\rho ' \cdot g}}} \cdot \left( {{v_1} + {v_2}} \right) \cdot d}}{U} = \frac{{9 \cdot \pi \cdot d}}{{2 \cdot U}} \cdot \sqrt {\frac{{{\eta ^3}}}{{\rho ' \cdot g}}}  \cdot \sqrt {{v_2} - {v_1}}  \cdot \left( {{v_1} + {v_2}} \right)\quad(5)\]

Zeige durch eine Einheitenrechnung, dass Gleichung \((5)\) für die Ladung \(q\) die korrekte Einheit ergibt.

Lösung

\[\begin{eqnarray}\left[ q \right] &=& \frac{{\left[ d \right]}}{{\left[ U \right]}}\sqrt {\frac{{{{\left[ \eta \right]}^3}}}{{\left[ {\rho'} \right] \cdot \left[ g \right]}}} \cdot \left[ v \right] \cdot \sqrt {\left[ v \right]}  = \frac{{\left[ d \right] \cdot \left[ v \right]}}{{\left[ U \right]}}\sqrt {\frac{{{{\left[ \eta  \right]}^3} \cdot \left[ v \right]}}{{\left[ {\rho'} \right] \cdot \left[ g \right]}}} \\ &=& \frac{{{\rm{m}} \cdot \frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{\frac{{\rm{J}}}{{\rm{C}}}}}\sqrt {\frac{{\frac{{{{\rm{N}}^3}{{\rm{s}}^3}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{6}}}}} \cdot \frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot \frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}}} = \frac{{{\rm{C}} \cdot {{\rm{m}}^2}}}{{{\rm{J}} \cdot {\rm{s}}}}\sqrt {\frac{{{{\rm{N}}^3}{{\rm{s}}^3}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{6}}}}} \cdot \frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot \frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot \frac{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}{{\rm{m}}}}  = \frac{{{\rm{C}} \cdot {{\rm{m}}^2}}}{{{\rm{J}} \cdot {\rm{s}}}}\sqrt {\frac{{{{\rm{N}}^3}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot \frac{{{{\rm{s}}^4}}}{{{{\rm{m}}^3}}}}  = \frac{{{\rm{C}} \cdot {{\rm{m}}^2} \cdot {\rm{N}} \cdot {\rm{s}}}}{{{\rm{N}} \cdot {\rm{m}} \cdot {\rm{s}} \cdot {\rm{m}}}}\sqrt {\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot \frac{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}{{\rm{m}}}}  = {\rm{C}} \cdot \sqrt {\frac{{\rm{N}}}{{\rm{N}}}}  = {\rm{C}}\end{eqnarray}\]

Korrektur nach der Methode von CUNNINGHAM

Um eine höhere Genauigkeit zu erreichen muss der so berechnete Wert allerdings noch nach der Methode von CUNNINGHAM korrigiert werden. Dazu benutzt man Gleichung \((4)\)\[r = \frac{3}{2} \cdot \sqrt {\frac{{\eta  \cdot \left({v_2-v_1}\right)}}{{\rho ' \cdot g}}} \quad(4)\]zur Berechnung des Tröpfchenradius \(r\) und berechnet mit Hilfe des Terms (ohne Herleitung)\[{r_{{\rm{k}}}} = \sqrt {{r^2} + \frac{{{A^2}}}{4}}  - \frac{A}{2}\;;\;A = 6{,}25 \cdot {10^{ - 8}}\,{\rm{m}} \quad (6)\]den nach CUNNINGHAM korrigierten Radius \(r_{{\rm{k}}}\). Anschließend berechnet man mit diesem Wert und mit Hilfe des Terms (ohne Herleitung)\[{q_{{\rm{k}}}} = \frac{q}{{{{\left( {1 + \frac{A}{{{r_{{\rm{k}}}}}}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}\;;\;A = 6{,}25 \cdot {10^{ - 8}}\,{\rm{m}} \quad (7)\]die nach CUNNINGHAM korrigierte Ladung \(q_{{\rm{k}}}\).

Durchführung und Beobachtung
Aufgabe

Schalte unbedingt vor Beginn der Messung in der Simulation die CUNNINGHAM-Korrektur "Ein".

  • Sprühe Öltröpfchen in die Versuchsapparatur, konzentriere dich auf ein einzelnes Öltröpfchen und warte, bis sich dieses im Mikroskop am oberen Rand befindet.
  • Schalte die Spannung \(U\) ein und regele diese so weit hoch, dass sich das Öltröpfchen im Mikroskop nach unten bewegt.
  • Pole die Spannung um - das Öltröpfchen bewegt sich im Mikroskop nach oben.
  • Aktiviere die Stoppuhr.
  • Pole die Spannung genau dann um, wenn sich das Öltröpfchen auf einem Skalenstrich befindet. Merke dir diesen Skalenstrich. Das Öltröpfchen bewegt sich im Mikroskop nach unten.
  • Pole die Spannung um, wenn das Öltröpfchen eine bestimmt Anzahl \(n\) (z.B. \(20\)) von Skalenteilen zurückgelegt hat. Das Öltröpfchen bewegt sich im Mikroskop nach oben.
  • Wiederhole die beiden letzten Schritte mehrmals. Die Variable \(m\) zählt, wie oft du die Spannung umgepolt hast und damit, wie oft die \(n\) Skalenteile zurückgelegt wurden.
  • Stoppe die Stoppuhr manuell, wenn sich das Öltröpfchen wieder an dem Skalenstrich befindet, an dem die erste Stoppuhr gestartet ist.
  • Notiere die Werte von Spannung \(U\), Anzahl \(n\), Zeiten \(t_1\) und \(t_2\) sowie Anzahl \(m\).

Führe den Versuch mehrmals mit verschiedenen Öltröpfchen durch. Notiere jeweiligen Messwerte in der folgenden Tabelle.

Tab. 1a Tabelle zur Dokumentation der Messwerte
\(N\) \(U\;{\rm{in}}\;{\rm{V}}\) \(n\) \(t_1\;{\rm{in}}\;{\rm{s}}\) \(t_2\;{\rm{in}}\;{\rm{s}}\) \(m\) \(\) \(\) \(\) \(\) \(\) \(\)
\(1\) \(\) \(\) \(\) \(\) \(\)            
\(2\)                      

Lösung

Tab. 1b Tabelle zur Dokumentation der Messwerte
\(N\) \(U\;{\rm{in}}\;{\rm{V}}\) \(n\) \(t_1\;{\rm{in}}\;{\rm{s}}\) \(t_2\;{\rm{in}}\;{\rm{s}}\) \(m\) \(\) \(\) \(\) \(\) \(\) \(\)
\(1\) \(316\) \(10\) \(110\) \(18{,}7\) \(6\)            
\(2\)                      
Kondensatorspannung
U
Stoppuhren
Uhr 1 startet nach dem Aktivieren
beim Umpolen der Spannung.
Uhr 1 stoppt/startet und Uhr 2 startet/stoppt
jeweils beim Umpolen der Spannung.
Uhr 2 muss schließlich manuell gestoppt werden.
Ansicht
CUNNINGHAM-Korrektur
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
Abb. 8 Bestimmung der Elementarladung nach der Steige-Sink-Methode

Hinweis: Die Simulation arbeitet mit den Parametern \(d = 6{,}00 \cdot {10^{ - 3}}\,{\rm{m}}\), \(s = 5{,}33 \cdot {10^{ - 5}}\,{\rm{m}}\), \({\rho _{{\rm{Öl}}}} = 875{,}3\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\), \({\rho _{{\rm{Luft}}}} = 1{,}29\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\), \(\eta  = 1{,}81 \cdot {10^{ - 5}}\,\frac{{{\rm{N}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}\), \(g = 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\) sowie dem Wert \(A = 6{,}25 \cdot {10^{ - 8}}\,{\rm{m}}\) für die CUNNINGHAM-Korrektur. Ist die Kondensatorspannung \(U\) positiv, so ist die (in der Realität obere, im Mikroskop untere) Platte des Kondensators positiv geladen.

Auswertung
Aufgabe

Hinweis: Bei der Auswertung der Messwerte kann dir eine Tabellenkalkulation gute Dienste leisten. Ein passendes Tabellenblatt kannst du leicht selbst anfertigen. Ein vorgefertigtes Tabellenblatt im .xls-Format findest du hier.

Berechne für alle Einzelmessungen durch \(v_1 = \frac{{\frac{m}{2} \cdot n \cdot s}}{t_1}\) bzw. \(v_2 = \frac{{\frac{m}{2} \cdot n \cdot s}}{t_2}\) die Geschwindigkeiten \(v_1\) und \(v_2\) sowie damit den Wert für die Ladung \(q\). Er sollte in der Größenordnung von \({10^{ - 19}}{\rm{As}}\) liegen.

Berechne anschließend wie in den Gleichungen \((4)\), \((6)\) und \((7)\) angegeben den Tröpfchenradius \(r\), den korrigierten Tröpfchenradius \(r_{{\rm{k}}}\) und schließlich die korrigierte Ladung \(q_{{\rm{k}}}\).

Lösung

Tab. 1c Tabelle zur Auswertung der Messwerte
\(N\) \(U\;{\rm{in}}\;{\rm{V}}\) \(n\) \(t_1\;{\rm{in}}\;{\rm{s}}\) \(t_2\;{\rm{in}}\;{\rm{s}}\) \(m\) \(v_1\;{\rm{in}}\;\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) \(v_2\;{\rm{in}}\;\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) \(q\;{\rm{in}}\;{\rm{A\,s}}\) \(r\;{\rm{in}}\;{\rm{m}}\) \(r_{{\rm{k}}}\;{\rm{in}}\;{\rm{m}}\) \({q_{{\rm{k}}}}\;{\rm{in}}\;{\rm{A\,s}}\)
\(1\) \(316\) \(10\) \(110\) \(18{,}7\) \(6\) \(1{,}45\cdot 10^{-5}\) \(8{,}56\cdot 10^{-5}\) \(1{,}88\cdot 10^{-19}\) \(5{,}81\cdot 10^{-7}\) \(5{,}50\cdot 10^{-7}\) \(1{,}60\cdot 10^{-19}\)
\(2\)                      

Erstelle ein Diagramm, in dem du auf der horizontalen Achse die Versuchsnummer \(N\) und auf der vertikalen Achse jeweils die berechnete korrigierte Ladung \(q_{{\rm{k}}}\) aufträgst.

Lösung

Joachim Herz Stiftung
Abb. 9 Diagramm mit der Darstellung der Messergebnisse

Interpretiere das Diagramm.

Lösung

Die elektrischen Ladungen aller Tröpfchen sind ganzzahlige Vielfache einer Ladung der Größe \(1{,}6 \cdot {10^{ - 19}}\,{\rm{A\,s}}\).

Aufgaben

MILLIKAN-Versuch - Steige-Sink-Methode (Simulation)

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