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Versuche

Elektrische Kraft im homogenen elektrischen Feld (Simulation mit Versuchsanleitung)

Das Ziel der Simulation

Die Simulation ermöglicht die Untersuchung der Abhängigkeit der Kraft auf eine Ladung im homogenen elektrischen Feld von den relevanten Parametern.

Aufgaben Aufgaben
Aufbau und Durchführung
Flächeninhalt
A
Plattenabstand
d
Plattenladung
|Q|
Probeladung
|q|
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Abb. 1 Prinzipieller Aufbau, Durchführung und Beobachtungen des Experimentes zur Untersuchung der Abhängigkeit der Kraft auf eine Ladung im homogenen elektrischen Feld von den relevanten Parametern

Die Simulation in Abb. 1 zeigt den prinzipiellen Aufbau, die Durchführung und die Beobachtung des Versuchs.

Eine Ladung (Probeladung) vom Betrag \(\left|q\right|\) befindet sich im Zwischenraum zweier gleichgroßer, paralleler Platten mit dem Flächeninhalt \(A\) und dem Plattenabstand \(d\). Die Platten sind entgegengesetzt geladen und tragen jeweils eine Ladung (Plattenladung) vom Betrag \(\left|Q\right|\). Angezeigt wird der Betrag \(F_{\rm{el}}\) der elektrischen Kraft auf die Probeladung.

Mit den Schiebereglern kannst du den Flächeninhalt \(A\), den Plattenabstand \(d\) sowie die Ladungsbeträge \(\left|Q\right|\) und \(\left|q\right|\) in bestimmten Grenzen verändern und so deren Einfluss auf den Kraftbetrag \(F_{\rm{el}}\) beobachten.

Die Simulation macht folgende vereinfachende Annahmen:

  • Der Plattenabstand ist klein gegenüber den Abmessungen der Platten.

  • Im Außenraum der Platten wirkt keine Kraft auf die Probeladung.

Die folgenden Aufgaben führen dich systematisch durch die Untersuchung der Abhängigkeit des Kraftbetrags \(F_{\rm{el}}\) von den relevanten Parametern.

1. Teilversuch: Untersuchung der Abhängigkeit des Kraftbetrags \(F_{\rm{el}}\) vom Plattenabstand \(d\)

Im ersten Teilversuch verändern wir den Plattenabstand \(d\) und beobachten den Kraftbetrag \(F_{\rm{el}}\).

Beobachtung
Aufgabe

Wähle für die Ladungsbeträge \(\left|Q\right|\) und \(\left|q\right|\) und den Flächeninhalt \(A\) beliebige Werte, verändere den Plattenabstand \(d\) und beobachte den Betrag \(F_{\rm{el}}\) der elektrischen Kraft auf die Probeladung.

Formuliere deine Beobachtung und ein Versuchsergebnis.

Lösung

Man kann beobachten, dass der Kraftbetrag \(F_{\rm{el}}\) unabhängig von den Werten der anderen Parameter für alle Werte des Plattenabstands \(d\) den gleichen Wert hat.

Daraus kann man als Versuchsergebnis schließen, dass der Kraftbetrag \(F_{\rm{el}}\) unabhängig vom Plattenabstand \(d\) ist.

2. Teilversuch: Untersuchung der Abhängigkeit des Kraftbetrags \(F_{\rm{el}}\) vom Ladungsbetrag \(\left| Q \right|\) bei konstantem \(\left| q \right|\) und konstantem \(A\)

Im zweiten Teilversuch halten wir den Ladungsbetrag \(\left| q \right|\) und den Fächeninhalt \(A\) konstant, verändern  den Ladungsbetrag \(\left| Q \right|\) und beobachten den Kraftbetrag \(F_{\rm{el}}\).

Beobachtung
Aufgabe

Halte \(\left|q\right|=0{,}80 \cdot 10^{-9}\,\rm{C}\) und \(A = 0{,}080\,\rm{m}^2\) konstant.

Vervollständige mit Hilfe der Simulation die folgende Wertetabelle.

Tab. 1a Wertetabelle ohne Messwerte
\(\left|Q\right|\) in \(10^{-7}\,\rm{C}\) \(0{,}20\) \(0{,}40\) \(0{,}60\) \(0{,}80\) \(1{,}00\) \(1{,}20\) \(1{,}40\)
\(F_{\rm{el}}\) in \(10^{-6}\,\rm{N}\)              

Lösung

Tab. 1b Wertetabelle mit Messwerten
\(\left|Q\right|\) in \(10^{-7}\,\rm{C}\) \(0{,}20\) \(0{,}40\) \(0{,}60\) \(0{,}80\) \(1{,}00\) \(1{,}20\) \(1{,}40\)
\(F_{\rm{el}}\) in \(10^{-6}\,\rm{N}\) \(23\) \(45\) \(68\) \(90\) \(113\) \(136\) \(158\)
Auswertung
Aufgabe

Stelle die Messwerte in einem \(\left|Q\right|\)-\(F_{\rm{el}}\)-Diagramm dar.

Werte das Diagramm aus.

Lösung

Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Darstellung der Messwerte in einem \(\left|Q\right|\)-\(F_{\rm{el}}\)-Diagramm. Zusätzlich eingezeichnet ist die durch Lineare Regression bestimmte Ausgleichsgerade.

Das Diagramm in Abb. 2 lässt vermuten, dass bei konstantem \(\left|q\right|\) und konstantem \(A\) der Kraftbetrag \(F_{\rm{el}}\) proportional zum Ladungsbetrag \(\left|Q\right|\) ist. Eine Lineare Regression liefert als Funktionsgleichung der Ausgleichsgerade im Rahmen der Messgenauigkeit\[F_{\rm{el}} = 1{,}1 \cdot {10^3}\frac{\rm{N}}{\rm{C}} \cdot \left| Q \right|\]mit dem Bestimmtheitsmaß\[R^2 = 0{,}99996 \approx 1\]Damit erhalten wir als Ergebnis des 1. Teilversuchs\[F_{\rm{el}} \sim \left| Q \right|\]bei konstantem \(\left|q\right|\) und konstantem \(A\).

3. Teilversuch: Untersuchung der Abhängigkeit des Kraftbetrags \(F_{\rm{el}}\) vom Ladungsbetrag \(\left| q \right|\) bei konstantem \(\left| Q \right|\) und konstantem \(A\)

Im dritten Teilversuch halten wir den Ladungsbetrag \(\left| Q \right|\) und den Fächeninhalt \(A\) konstant, verändern den Ladungsbetrag \(\left| q \right|\) und beobachten den Kraftbetrag \(F_{\rm{el}}\).

Beobachtung
Aufgabe

Halte \(\left|Q\right|=0{,}80 \cdot 10^{-7}\,\rm{C}\) und \(A = 0{,}080\,\rm{m}^2\) konstant.

Vervollständige mit Hilfe der Simulation die folgende Wertetabelle.

Tab. 2a Wertetabelle ohne Messwerte
\(\left|q\right|\) in \(10^{-9}\,\rm{C}\) \(0{,}20\) \(0{,}40\) \(0{,}60\) \(0{,}80\) \(1{,}00\) \(1{,}20\) \(1{,}40\)
\(F_{\rm{el}}\) in \(10^{-6}\,\rm{N}\)              

Lösung

Tab. 2b Wertetabelle mit Messwerten
\(\left|q\right|\) in \(10^{-9}\,\rm{C}\) \(0{,}20\) \(0{,}40\) \(0{,}60\) \(0{,}80\) \(1{,}00\) \(1{,}20\) \(1{,}40\)
\(F_{\rm{el}}\) in \(10^{-6}\,\rm{N}\) \(23\) \(45\) \(68\) \(90\) \(113\) \(136\) \(158\)
Auswertung
Aufgabe

Stelle die Messwerte in einem \(\left|q\right|\)-\(F_{\rm{el}}\)-Diagramm dar.

Werte das Diagramm aus.

Lösung

Joachim Herz Stiftung
Abb. 3 Darstellung der Messwerte in einem \(\left|q\right|\)-\(F_{\rm{el}}\)-Diagramm. Zusätzlich eingezeichnet ist die durch Lineare Regression bestimmte Ausgleichsgerade.

Das Diagramm in Abb. 3 lässt vermuten, dass bei konstantem \(\left|Q\right|\) und konstantem \(A\) der Kraftbetrag \(F_{\rm{el}}\) proportional zum Ladungsbetrag \(\left|q\right|\) ist. Eine Lineare Regression liefert als Funktionsgleichung der Ausgleichsgerade im Rahmen der Messgenauigkeit\[F_{\rm{el}} = 1{,}1 \cdot {10^5}\frac{\rm{N}}{\rm{C}} \cdot \left| q \right|\]mit dem Bestimmtheitsmaß\[R^2 = 0{,}99996 \approx 1\]Damit erhalten wir als Ergebnis des 2. Teilversuchs\[F_{\rm{el}} \sim \left| q \right|\]bei konstantem \(\left|Q\right|\) und konstantem \(A\).

4. Teilversuch: Untersuchung der Abhängigkeit des Kraftbetrags \(F_{\rm{el}}\) vom Flächeninhalt \(A\) bei konstantem \(\left| Q \right|\) und konstantem \(\left| q \right|\)

Im vierten Teilversuch halten wir die Ladungsbeträge \(\left| Q \right|\) und \(\left| q \right|\) konstant, verändern den Fächeninhalt \(A\) und beobachten den Kraftbetrag \(F_{\rm{el}}\).

Beobachtung
Aufgabe

Halte \(\left|Q\right|=0{,}80 \cdot 10^{-7}\,\rm{C}\) und \(\left|q\right|=0{,}80 \cdot 10^{-9}\,\rm{C}\) konstant.

Vervollständige mit Hilfe der Simulation die folgende Wertetabelle.

Tab. 3a Wertetabelle ohne Messwerte
\(A\) in \(\rm{m}^2\) \(0{,}020\) \(0{,}040\) \(0{,}060\) \(0{,}080\) \(0{,}100\) \(0{,}120\) \(0{,}140\)
\(F_{\rm{el}}\) in \(10^{-6}\,\rm{N}\)              

Lösung

Tab. 3b Wertetabelle mit Messwerten
\(A\) in \(\rm{m}^2\) \(0{,}020\) \(0{,}040\) \(0{,}060\) \(0{,}080\) \(0{,}100\) \(0{,}120\) \(0{,}140\)
\(F_{\rm{el}}\) in \(10^{-6}\,\rm{N}\) \(361\) \(181\) \(120\) \(90\) \(72\) \(60\) \(52\)
Auswertung
Aufgabe

Stelle die Messwerte in einem \(A\)-\(F_{\rm{el}}\)-Diagramm dar.

Werte das Diagramm aus.

Lösung

Joachim Herz Stiftung
Abb. 4 Darstellung der Messwerte in einem \(A\)-\(F_{\rm{el}}\)-Diagramm. Zusätzlich eingezeichnet ist die durch Potenzregression bestimmte Ausgleichskurve.

Das Diagramm in Abb. 4 lässt vermuten, dass bei konstantem \(\left|Q\right|\) und konstantem \(\left|q\right|\) der Kraftbetrag \(F_{\rm{el}}\) umgekehrt proportional (antiproportional) zum Flächeninhalt \(A\) ist. Eine Potenzregression liefert als Funktionsgleichung der Ausgleichskurve im Rahmen der Messgenauigkeit\[F_{\rm{el}} = 7{,}2 \cdot {10^{-6}}\,\rm{N} \cdot \rm{m}^2 \cdot A^{-1{,}0}\]mit dem Bestimmtheitsmaß\[r^2 = 0{,}99996 \approx 1\]Damit erhalten wir als Ergebnis des 3. Teilversuchs\[F_{\rm{el}} \sim \frac{1}{A}\]bei konstantem \(\left|q\right|\) und konstantem \(\left|Q\right|\).

Zusammenfassung der Ergebnisse der vier Teilversuche

  • Aus dem 1. Teilversuch ergibt sich, dass \(F_{\rm{el}}\) unabhängig vom Plattenabstand \(d\) ist.
  • Aus dem 2. Teilversuch ergibt sich \(F_{\rm{el}} \sim \left|Q\right|\) bei konstantem \(\left|q\right|\) und konstantem \(A\).
  • Aus dem 3. Teilversuch ergibt sich \(F_{\rm{el}} \sim \left|q\right|\) bei konstantem \(\left|Q\right|\) und konstantem \(A\).
  • Aus dem 4. Teilversuch ergibt sich \(F_{\rm{el}} \sim \frac{1}{A}\) bei konstantem \(\left|q\right|\) und konstantem \(\left|Q\right|\).

Zusammengefasst ergibt sich\[F_{\rm{el}} \sim \left|Q\right| \cdot \left|q\right| \cdot  \frac{1}{A} = \frac{\left|Q\right| \cdot \left|q\right|}{A} \; {\rm{oder}} \; F_{\rm{el}}= k \cdot \frac{\left|Q\right| \cdot \left|q\right|}{A}\]Nun muss noch der Wert des Proportionalitätsfaktors \(k\) bestimmt werden.

Auswertung
Aufgabe

Vervollständige mit Hilfe der Simulation die folgende Wertetabelle.

Tab. 4a Wertetabelle mit einigen Messwerten
\(\left|Q\right|\) in \(10^{-7}\,\rm{C}\) \(0{,}30\) \(0{,}60\) \(0{,}60\) \(0{,}60\) \(0{,}60\) \(\) \(0{,}90\)
\(\left|q\right|\) in \(10^{-9}\,\rm{C}\) \(0{,}40\) \(0{,}40\) \(0{,}60\) \(0{,}60\) \(\) \(0{,}90\) \(0{,}80\)
\(A\) in \(\rm{m}^2\) \(0{,}120\) \(0{,}120\) \(0{,}120\) \(\) \(0{,}090\) \(0{,}090\) \(0{,}060\)
\(\frac{\left|Q\right| \cdot \left|q\right|}{A}\) in \(10^{-16}\,\frac{\rm{C}^2}{\rm{m}^2}\) \(1{,}0\) \(2{,}0\) \(\) \(4{,}0\) \(6{,}0\) \(9{,}0\) \(\)
\(F_{\rm{el}}\) in \(10^{-6}\,\rm{N}\) \(11\) \(\) \(34\) \(45\) \(68\) \(102\) \(\)

Bestimme mit Hilfe eines \(\frac{\left|Q\right| \cdot \left|q\right|}{A}\)-\(F_{\rm{el}}\)-Diagramms und dessen Auswertung den Wert des Proportionalitätsfaktors \(k\).

Aus theoretischen Gründen schreibt die Physik diesen Proportionalitätsfaktor als \(k=\frac{1}{\varepsilon_0}\) mit der sogenannten elektrischen Feldkonstante \(\varepsilon_0\).

Bestimme aus dem Wert von \(k\) den Wert von \(\varepsilon_0\).

Lösung

Tab. 4b Wertetabelle mit Messwerten
\(\left|Q\right|\) in \(10^{-7}\,\rm{C}\) \(0{,}30\) \(0{,}60\) \(0{,}60\) \(0{,}60\) \(0{,}60\) \(0{,}90\) \(0{,}90\)
\(\left|q\right|\) in \(10^{-9}\,\rm{C}\) \(0{,}40\) \(0{,}40\) \(0{,}60\) \(0{,}60\) \(0{,}90\) \(0{,}90\) \(0{,}80\)
\(A\) in \(\rm{m}^2\) \(0{,}120\) \(0{,}120\) \(0{,}120\) \(0{,}090\) \(0{,}090\) \(0{,}090\) \(0{,}060\)
\(\frac{\left|Q\right| \cdot \left|q\right|}{A}\) in \(10^{-16}\,\frac{\rm{C}^2}{\rm{m}^2}\) \(1{,}0\) \(2{,}0\) \(3{,}0\) \(4{,}0\) \(6{,}0\) \(9{,}0\) \(12{,}0\)
\(F_{\rm{el}}\) in \(10^{-6}\,\rm{N}\) \(11\) \(23\) \(34\) \(45\) \(68\) \(102\) \(136\)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 5 \(\frac{\left|Q\right| \cdot \left|q\right|}{A}\)-\(F_{\rm{el}}\)-Diagramm. Zusätzlich eingezeichnet ist die durch Lineare Regression bestimmte Ausgleichsgerade.

Das Diagramm in Abb. 5 zeigt wie erwartet, dass der Kraftbetrag \(F_{\rm{el}}\) proportional zum Quotienten \(\frac{\left|Q\right| \cdot \left|q\right|}{A}\) ist. Eine Lineare Regression liefert als Funktionsgleichung der Ausgleichsgerade im Rahmen der Messgenauigkeit\[F_{\rm{el}} = 1{,}13 \cdot {10^{11}}\frac{\rm{N}\,\rm{m}^2}{\rm{C}^2} \cdot \frac{\left|Q\right| \cdot \left|q\right|}{A}\]mit dem Bestimmtheitsmaß\[R^2 = 0{,}99998 \approx 1\]Damit erhalten wir als Ergebnis\[k =1{,}13 \cdot {10^{11}}\frac{\rm{N}\,\rm{m}^2}{\rm{C}^2}\]Damit ergibt sich für \(\varepsilon_0=\frac{1}{k}\) im Rahmen der Messgenauigkeit\[\varepsilon_0=\frac{1}{1{,}13 \cdot {10^{11}}\frac{\rm{N}\,\rm{m}^2}{\rm{C}^2}}=8{,}85 \cdot 10^{-12}\frac{\rm{C}^2}{\rm{N}\,\rm{m}^2}\]

Ergebnis

Eine Ladung (Probeladung) vom Betrag \(\left|q\right|\) befindet sich im Zwischenraum zweier gleichgroßer, paralleler Platten mit dem Flächeninhalt \(A\) und dem Plattenabstand \(d\). Die Platten sind entgegengesetzt geladen und tragen jeweils eine Ladung (Plattenladung) vom Betrag \(\left|Q\right|\).

Dann ist der Betrag \(F_{\rm{el}}\) der elektrischen Kraft auf die Probeladung

  • unabhängig vom Plattenabstand \(d\)
  • proportional zu den Ladungsbeträgen \(\left|q\right|\) und \(\left|Q\right|\) und
  • umgekehrt proportional zum Flächeninhalt \(A\)

und berechnet sich durch\[F_{\rm{el}} = \frac{1}{\varepsilon_0} \cdot \frac{\left| Q \right| \cdot \left|q\right|}{{{A}}} \;\;{\rm{mit}}\;\;\varepsilon_0 = 8{,}854 \cdot {10^{-12}}\,\frac{\rm{C}^2}{\rm{N}\,\rm{m}^2}\]Die Konstante \(\varepsilon_0\) heißt elektrische Feldkonstante oder Dielektrizitätskonstante des Vakuums.

Hinweis: In Formelsammlungen wird die Maßeinheit der elektrischen Feldkonstante meist mit \(\frac{\rm{A}\,\rm{s}}{\rm{V} \, \rm{m}}\) angegeben.