Die Simulation "COULOMB-Gesetz" veranschaulicht die COULOMB-Kraft zwischen zwei geladenen Körpern in Abhängigkeit von den relevanten Größen. Sie ermöglicht dir die selbstständige Erarbeitung des COULOMB-Gesetztes, das Charles Augustin de COULOMB (1736 - 1806) um das Jahr 1785 entdeckt hat und seither in umfangreichen Experimenten bestätigt werden konnte.
In der Simulation siehst du zwei geladene Körper, deren Ladungen \(q_1\) und \(q_2\) du in gewissen Grenzen verändern kannst. Ebenfalls kannst du den Abstand der Mittelpunkte der beiden Körper - wir bezeichnen ihn mit \(r\) - verändern, indem du die Körper horizontal bewegst. Das Lineal ist ebenfalls beweglich, mit ihm kannst du diesen Abstand messen.
Die beiden kleinen Figuren und die Kraftpfeile deuten an, wie die COULOMB-Kraft zwischen den beiden Körpern gerichtet und wie groß sie ist. Den Betrag \({F_{\rm{C}}}\) der COULOMB-Kraft kannst du dir mit der Checkbox "Werte der Kräfte" anzeigen lassen, durch Wählen der Checkbox "wissenschaftlich" auch in wissenschaftlicher Schreibweise.
Im weiteren Verlauf dieses Artikels wollen wir mit dem COULOMB-Gesetz auf Laborgröße arbeiten.
Aufgabe
Verändere in der Simulation die Ladungen \(q_1\) und \(q_2\) der beiden Körper sowie den Abstand \(r\) der Mittelpunkte der beiden Körper und beobachte den Betrag \(F_{\rm{C}}\) der COULOMB-Kraft.
Formuliere deine Beobachtungen in Form von "Wenn ..., dann ..." oder "Je größer ..., desto ..." - Sätzen.
Aufgabe
Abhängigkeit des Betrags \(F_{\rm{C}}\) der COULOMB-Kraft von der Ladung \(q_1\)
Halte den Abstand \(r\) der Mittelpunkte der beiden Ladungen auf dem Wert \(5{,}0\,\rm{cm}\) und die Ladung \(q_2\) auf dem Wert \(5\,\rm{\mu C}\) fest.
Verändere die Ladung \(q_1\) und beobachte den Betrag \(F_{\rm{C}}\) der COULOMB-Kraft.
Halte die verschiedenen Werte von \(q_1\) und \(F_{\rm{C}}\) in einer Tabelle fest.
Trage anschließend die Wertepaare in einem \(q_1\)-\(F_{\rm{C}}\)-Diagramm auf.
Gib an, auf welchem Graphen sich die Wertepaare befinden, welcher Funktionstyp zu diesem Graphen gehört und wie der zugehörige Funktionsterm allgemein aussieht.
Werte dieses \(q_1\)-\(F_{\rm{C}}\)-Diagramm aus, d.h. bestimme den Funktionsterm, der hier den Zusammenhang zwischen \(q_1\) und \(F_{\rm{C}}\) beschreibt.
Abhängigkeit des Betrags \(F_{\rm{C}}\) der COULOMB-Kraft von der Ladung \(q_2\)
Halte den Abstand \(r\) der Mittelpunkte der beiden Ladungen auf dem Wert \(5{,}0\,\rm{cm}\) und die Ladung \(q_1\) auf dem Wert \(5\,\rm{\mu C}\) fest.
Verändere die Ladung \(q_2\) und beobachte den Betrag \(F_{\rm{C}}\) der COULOMB-Kraft.
Halte die verschiedenen Werte von \(q_2\) und \(F_{\rm{C}}\) in einer Tabelle fest.
Trage anschließend die Wertepaare in einem \(q_2\)-\(F_{\rm{C}}\)-Diagramm auf.
Gib an, auf welchem Graphen sich die Wertepaare befinden, welcher Funktionstyp zu diesem Graphen gehört und wie der zugehörige Funktionsterm allgemein aussieht.
Werte dieses \(q_2\)-\(F_{\rm{C}}\)-Diagramm aus, d.h. bestimme den Funktionsterm, der hier den Zusammenhang zwischen \(q_2\) und \(F_{\rm{C}}\) beschreibt.
Abhängigkeit des Betrags \(F_{\rm{C}}\) der COULOMB-Kraft vom Abstand \(r\)
Halte die Ladungen \(q_1\) und \(q_2\) jeweils auf dem Wert \(5\,\rm{\mu C}\) fest.
Verändere den Abstand \(r\) und beobachte den Betrag \(F_{\rm{C}}\) der COULOMB-Kraft.
Halte die verschiedenen Werte von \(r\) und \(F_{\rm{C}}\) in einer Tabelle fest.
Trage anschließend die Wertepaare in einem \(r\)-\(F_{\rm{C}}\)-Diagramm auf.
Stelle anhand dieses Diagramms eine Vermutung über den Zusammenhang zwischen dem Abstand \(r\) und dem Betrag \(F_{\rm{C}}\) der COULOMB-Kraft auf. Gib möglichst auch einen passenden Funktionsterm an.
Linearisierung des \(r\)-\(F_{\rm{C}}\)-Diagramms
Man kann zeigen (vgl. die weiter unten stehende Aufgabe für Experten), dass der Betrag \(F_{\rm{C}}\) der COULOMB-Kraft umgekehrt quadratisch (d.h. wie \(y\left( x \right) \sim \frac{1}{{{x^2}}}\)) vom Abstand \(r\) abhängt. Von dieser Tatsache kannst du im weiteren Verlauf der Auswertung ausgehen, um das \(r\)-\(F_{\rm{C}}\)-Diagramm zu linearisieren.
Ergänze dazu die zweite Zeile der folgenden Wertetabelle.
\(r\;\rm{in}\;\rm{m}\) | \(0{,}015\) | \(0{,}020\) | \(0{,}030\) | \(0{,}040\) | \(0{,}050\) | \(0{,}060\) | \(0{,}070\) | \(0{,}080\) | \(0{,}090\) | \(0{,}10\) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
\(\frac{1}{r^2}\;\rm{in}\;\frac{1}{\rm{m}^2}\) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) |
\(F_{\rm{C}}\;\rm{in}\;\rm{N}\) | \(999\) | \(562\) | \(250\) | \(140\) | \(90\) | \(62\) | \(46\) | \(35\) | \(28\) | \(22\) |
Trage anschließend die Wertepaare der zweiten und dritten Zeile der Tabelle in einem \(\frac{1}{r^2}\)-\(F_{\rm{C}}\)-Diagramm auf.
Werte dieses \(\frac{1}{r^2}\)-\(F_{\rm{C}}\)-Diagramm aus, d.h. bestimme den Funktionsterm, der hier den Zusammenhang zwischen \(r\) und \(F_{\rm{C}}\) beschreibt.
Abhängigkeit des Betrags \(F_{\rm{C}}\) der COULOMB-Kraft den den Ladungen \(q_1\) und \(q_2\) und dem Abstand \(r\)
Stelle mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse einen Term auf, der die Abhängigkeit des Betrags \(F_{\rm{C}}\) der COULOMB-Kraft von den Ladungen \(q_1\) und \(q_2\) sowie dem Abstand \(r\) beschreibt (Tipp: Multiplikation der Einzelterme). Bezeichne die Konstante, die in diesem Term nötig ist, mit dem Formelbuchstaben \(k_{\rm{C}}\).
Bestimmung des Wertes der Konstante \(k_{\rm{C}}\)
Die im oben angegeben Term nötige, aber noch nicht bekannte Konstante \(k_{\rm{C}}\) können wir mit den bisher gewonnenen Werten bestimmen.
Ergänze die vierte Zeile der folgenden Wertetabelle.
\(q_1\;\rm{in}\;10^{-6}\rm{C}\) | \(3\) | \(6\) | \(9\) | \(5\) | \(5\) | \(5\) | \(5\) | \(5\) | \(5\) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
\(q_2\;\rm{in}\;10^{-6}\rm{C}\) | \(5\) | \(5\) | \(5\) | \(2\) | \(5\) | \(10\) | \(5\) | \(5\) | \(5\) |
\(r\;\rm{in}\;\rm{m}\) | \(0{,}05\) | \(0{,}05\) | \(0{,}05\) | \(0{,}05\) | \(0{,}05\) | \(0{,}05\) | \(0{,}03\) | \(0{,}09\) | \(0{,}10\) |
\(\frac{q_1 \cdot q_2}{r^2}\;\rm{in}\;10^{-9}\,\frac{\rm{C}^2}{\rm{m}^2}\) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) |
\(F_{\rm{C}}\;\rm{in}\;\rm{N}\) | \(54\) | \(108\) | \(162\) | \(36\) | \(90\) | \(180\) | \(250\) | \(28\) | \(22\) |
Trage anschließend die Wertepaare der vierten und fünften Zeile der Tabelle in einem \(\frac{q_1 \cdot q_2}{r^2}\)-\(F_{\rm{C}}\)-Diagramm auf.
Werte dieses \(\frac{q_1 \cdot q_2}{r^2}\)-\(F_{\rm{C}}\)-Diagramm aus, d.h. bestimme den Funktionsterm, der allgemein den Zusammenhang zwischen \(q_1\), \(q_2\), \(r\) und \(F_{\rm{C}}\) beschreibt.
Aus theoretischen Gründen wird die Konstante \(k_{\rm{C}}\) in der Form\[{k_{\rm{C}}} = \frac{1}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}}\]aufgeschrieben. Dabei ist die Konstante \({{\varepsilon _0}}\) die elektrische Feldkonstante.
Bestimme den Wert der elektrischen Feldkonstante \({{\varepsilon _0}}\).
Weise nach, dass die Maßeinheit der elektrischen Feldkonstante auch durch \({\left[ {{\varepsilon _0}} \right] = 1\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{Vm}}}}}\) gegeben ist.
In der oben stehende Aufgabe haben wir bei der Auswertung des \(r\)-\(F_{\rm{C}}\)-Diagramms vorausgesetzt, dass der Betrag \(F_{\rm{C}}\) der COULOMB-Kraft umgekehrt quadratisch (d.h. wie \(y\left( x \right) \sim \frac{1}{{{x^2}}}\)) vom Abstand \(r\) abhängt.
Durch ein besonderes Auswertungsverfahren, die sogenannte doppelt-logarithmische Auftragung der Werte, kann man auch ohne diese Voraussetzung zu den gleichen Ergebnissen wie oben kommen. Dieses Verfahren kannst du in der folgenden Aufgabe durchführen.
Aufgabe
Aufgabe für Experten: Untersuchung der Abhängigkeit des Betrags \(F_{\rm{C}}\) der COULOMB-Kraft vom Abstand \(r\) durch doppelt-logarithmische Auftragung
Wenn wir davon ausgehen, dass der Betrag \(F_{\rm{C}}\) der COULOMB-Kraft vom Abstand \(r\) durch eine Potenzfunktion mit reellem Exponenten (d.h. wie \(y(x) \sim {x^\alpha }\;\rm{mit}\;\alpha \in \mathbb{R}\)) abhängt, so kann man den Exponent \(\alpha\) sowie den Proportionalitätsfaktor \(C\) durch doppelt-logarithmische Auftragung der Wertepaare bestimmen.
Wir setzen an mit \(x: = \frac{r}{{\rm{m}}}\) und \(y: = \frac{{{F_{\rm{C}}}}}{{{\rm{N}}}}\) und erhalten so den Ansatz\[y = C \cdot {x^\alpha }\]Wenden wir auf beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus an und nutzen die Logarithmengesetze aus, so erhalten wir\[\ln \left( y \right) = \ln \left( {C \cdot {x^\alpha }} \right) = \ln \left( C \right) + \alpha \cdot \ln \left( x \right)\]Dies bedeutet, dass bei einer Auftragung von \(\ln \left( y \right)\) gegen \(\ln \left( x \right)\) der gesuchte Exponent die Steigung und der \(\ln \left( C \right)\) der Ordinatenabschitt einer Gerade sein sollten. Um diesen Ansatz durchzuführen musst du also folgende Arbeitsaufträge bearbeiten.
Ergänze die zweite und die vierte Zeile der folgenden Wertetabelle.
\(r\;\rm{in}\;\rm{m}\) | \(0{,}015\) | \(0{,}020\) | \(0{,}030\) | \(0{,}040\) | \(0{,}050\) | \(0{,}060\) | \(0{,}070\) | \(0{,}080\) | \(0{,}090\) | \(0{,}10\) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
\(\ln \left( \frac{r}{\rm{m}} \right)\) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) |
\(F_{\rm{C}}\;\rm{in}\;\rm{N}\) | \(999\) | \(562\) | \(250\) | \(140\) | \(90\) | \(62\) | \(46\) | \(35\) | \(28\) | \(22\) |
\(\ln \left( \frac{F_{\rm{G}}}{\rm{N}} \right)\) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) |
Trage anschließend die Wertepaare der zweiten und vierten Zeile der Tabelle in einem \(\ln \left( \frac{r}{\rm{m}} \right)\)-\(\ln \left( \frac{F_{\rm{C}}}{\rm{N}} \right)\)-Diagramm auf.
Werte dieses \(\ln \left( \frac{r}{\rm{m}} \right)\)-\(\ln \left( \frac{F_{\rm{C}}}{\rm{N}} \right)\)-Diagramm aus, d.h. bestimme den Funktionsterm, der hier den Zusammenhang zwischen \(r\) und \(F_{\rm{C}}\) beschreibt.