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Aufgabe

Elektrisches Feld bei einem Gewitter (Abitur BY 2020 Ph11-2 A1)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Die Unterseite einer Gewitterwolke hat den Flächeninhalt \(A=9{,}5\,\rm{km}^2\) und befindet sich in \(500\,\rm{m}\) Höhe über dem Erdboden. Sie lässt sich zusammen mit der Erde als Plattenkondensator auffassen. Die Wolke sei zunächst mit \(Q=12\,\rm{C}\) positiv geladen.

a)

Fertige eine beschriftete Skizze der Anordnung an.

Zeichne den Verlauf der elektrischen Feldlinien zwischen Wolke und Erdboden ein.

Gib zwei geometrische Bedingungen an, unter denen dieses Feld als homogen betrachtet werden kann. (4 BE)

b)

Zeige, dass für die Feldstärke im homogenen elektrischen Feld \(E=\frac{1}{\epsilon_0} \cdot \frac{Q}{A}\) gilt.

Berechne deren Betrag für obige Anordnung. [zur Kontrolle: \(E=0{,}14\, \rm{\frac{MV}{m}}\)] (6 BE)

Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Skizze zu Aufgabenteil c)

Abb. 1 zeigt die Verformung der Äquipotentiallinien des Feldes durch die Metallkuppel einer Sternwarte.

c)

Ergänze in Abb. 1 die Feldlinien durch die sieben mit Kreuzen gekennzeichneten Punkte.

Begründe mithilfe der Abbildung, dass sich in der unmittelbaren Nähe der Kuppel die Feldstärke erhöht. (4 BE)

d)

Gib für die eingezeichneten Äquipotentiallinien die Werte des jeweiligen Potentials an, wenn das Potential der Erde \(0\,\rm{V}\) beträgt.

Schätze damit den Betrag der elektrischen Feldstärke unmittelbar oberhalb der Kuppel ab.

Entscheide aufgrund deines Ergebnisses, ob es zu einem Blitz kommen kann, wenn dieser ab einem Feldstärkewert von \(1{,}2\,\rm{\frac{kV}{mm}}\)auftritt. (7 BE)

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Abb. 2 Skizze zu Aufgabenteil e)

Schließlich kommt es zu einer teilweisen Entladung der Wolke durch einen Blitz, der \(60\%\) der Gesamtladung der Wolke transportiert. Abb. 2 zeigt schematisch aber maßstäblich zwei Momentaufnahmen dieses Blitzes im zeitlichen Abstand von \(3{,}0\,\rm{\mu s}\).

e)

Schätze mithilfe der Abb. 2 die mittlere Stromstärke dieses Blitzes ab. Gehe dazu stark vereinfachend davon aus, dass der Ladungstransport \(50\) Mal länger dauert als die Zeit, die der optisch wahrnehmbare Blitz von der Wolke bis zum Einschlag in den Boden benötigt. (5 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayerischen Kultusministeriums.

a)
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Abb. 3 Skizze zur Lösung von Aufgabenteil a)
  • Die Wolkenunterseite und der Erdboden stellen jeweils eine ebene Fläche dar.
  • Die Flächen der Wolkenunterseite und des Erdbodens sind zueinander parallel.
b)

Für die Verschiebungsdichte \(D\) im Vakuum gilt\[D = \varepsilon_0 \cdot E \quad (1)\]Da das Vakuum nahezu die gleiche relative Dielektrizitätskonstante \(\varepsilon_r\) wie Luft besitzt, kann Gleichung \((1)\) auch für den luftgefüllten Plattenkondensator verwendet werden, dessen eine Platte die Wolkenunterseite und dessen andere Platte die Erdbodenoberseite ist.

Da \(D\) mit der Flächenladungsdichte gleichzusetzen ist, gilt\[D =\frac{Q}{A} \quad (2)\]Setzt man die rechten Seiten der Gleichungen \((2)\) und \((1)\) gleich, so folgt\[{{\varepsilon _0} \cdot E = \frac{Q}{A} \Leftrightarrow E = \frac{1}{{{\varepsilon _0}}} \cdot \frac{Q}{A}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{E = \frac{1}{{8{,}85 \cdot {{10}^{ - 12}}\frac{{{\rm{A}\,\rm{s}}}}{{{\rm{V}\,\rm{m}}}}}} \cdot \frac{{12\,{\rm{As}}}}{{9{,}5 \cdot {{10}^6}\,{{\rm{m}}^2}}} = 1{,}4 \cdot {{10}^5}\,\frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}}}\]

c)
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Abb. 4 Skizze zur Lösung von Aufgabenteil c)

Eine höhere Feldliniendichte symbolisiert eine höhere elektrische Feldstärke. Da die Feldliniendichte unmittelbar oberhalb der Kuppel höher ist als z.B. an der Unterseite der Wolke, ist die Feldstärke in der Umgebung der Kuppel erhöht.

d)

Das Potential in verschiedenen Höhen \(\varphi(h)\) kann im vorliegenden Fall durch die Beziehung  \(\varphi(h)=E\cdot h\) ermittelt werden. Hieraus ergibt sich\[\begin{eqnarray}&\varphi(20\,\rm{m}) = 1{,}4 \cdot10^5\cdot 20\,\rm{V} = 2{,}8\,\rm{MV}\\&\varphi(15\,\rm{m}) = 1{,}4 \cdot10^5\cdot 15\,\rm{V} = 2{,}1\,\rm{MV}\\&\varphi(10\,\rm{m}) = 1{,}4 \cdot10^5\cdot 10\,\rm{V} = 1{,}4\,\rm{MV}\\&\varphi(5{,}0\,\rm{m}) = 1{,}4 \cdot10^5\cdot 5{,}0\,\rm{V} = 0{,}70\,\rm{MV}\end{eqnarray}\]Für die Abschätzung der Feldstärke im Bereich der Kuppel wählen wir\[{{E_{{\rm{Kuppel}}}} \approx \left| {\frac{{\Delta \varphi }}{{\Delta h}}} \right|}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{{E_{{\rm{Kuppel}}}} \approx \left|\frac{{0{,}71\,{\rm{MV}} - 0\,{\rm{MV}}}}{{1{,}0\,{\rm{m}}}}\right| = 0{,}71\,\frac{{{\rm{MV}}}}{{\rm{m}}} = 0{,}71\,\frac{{{\rm{kV}}}}{{{\rm{mm}}}}}\]Dieser Feldstärkewert ist zu klein, um einen Blitz auszulösen, da ein solcher erst bei \(1{,}2\,{\frac{\rm{kV}}{\rm{mm}}}\) zu erwarten wäre.

e)
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Abb. 5 Skizze zur Lösung von Aufgabenteil e)

Im linken Bild hat der Blitz etwa die erste Hälfte der Strecke zwischen Wolke und Erdboden zurückgelegt. Im rechten Bild, das nach weiteren \(3{,}0\,\rm{\mu s}\) aufgenommen wurde, hat der Blitz die zweite Hälfte der Strecke zwischen Wolke und Erdboden zurückgelegt. Also braucht der Blitz insgesamt \(6{,}0\,\rm{\mu s}\), um von der Wolke zum Erdboden zu gelangen. Da der Ladungstransport \(50\) Mal länger dauert als diese \(6{,}0\,\rm{\mu s}\) , ist die Dauer des Ladungstransports \(\Delta t = 50 \cdot 6{,}0\,\rm{\mu s} = 3{,}0 \cdot 10^2\,\rm{\mu s} = 3{,}0 \cdot 10^{-4}\,\rm{s}\).

Somit gilt für die mittlere Stromstärke \(\overline I = \frac{\Delta Q}{\Delta t}\) mit \(\Delta Q = 60\% \cdot Q\)\[\bar I = \frac{{0{,}60 \cdot 12\,{\rm{A}\,\rm{s}}}}{{3{,}0 \cdot {{10}^{ - 4}}\,{\rm{s}}}} = 2{,}4 \cdot {10^4}\,{\rm{A}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Ladungen & elektrisches Feld