Ladungen & elektrisches Feld

Die abstoßende Kraft ist die COULOMB-Kraft mit\[{F_{\rm{C}}} = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{{Q_1} \cdot {Q_2}}}{{{r^2}}}\]Da die Ladungen auf den Kugeln gleich sind (\(Q_1=Q_2=Q\)), ergibt sich\[{F_{\rm{C}}} = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{Q \cdot Q}}{{{r^2}}} \Rightarrow Q = \sqrt {{F_{\rm{C}}} \cdot {r^2} \cdot 4\pi {\varepsilon _0}} = \sqrt{F_\rm{C}\cdot \pi \cdot \varepsilon_0}\cdot 2\cdot r\]

In diesem Ausdruck für die Ladung Q einer einzelnen Kugel ist der Abstand \(r\) noch nicht bekannt. Dieser ergibt sich sich ebenfalls aus einem rechtwinkligen Dreieck im rechten Teil der Abbildung \[\sin \left( {\frac{\alpha }{2}} \right) = \frac{{\frac{r}{2}}}{s} \Leftrightarrow r = 2 \cdot s \cdot \sin \left( {\frac{\alpha }{2}} \right)\]

Einsetzen des Terms für \(r\) in die Formel für die Gesamtladung ergibt

\[Q = \sqrt{F_\rm{C}\cdot \pi \cdot \varepsilon_0}\cdot 2\cdot 2\cdot s\cdot \sin \left(\frac{\alpha}{2}\right)\]

und daraus mit \(Q_\rm{ges}=2\cdot Q\)

\[{Q_{{\rm{ges}}}} = 2 \cdot Q = 2 \cdot \sqrt {4,29 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{N}} \cdot {{\left( {2 \cdot 0,200{\rm{m}} \cdot \sin \left( {\frac{{10,0^\circ }}{2}} \right)} \right)}^2} \cdot 4 \cdot \pi  \cdot 8,85 \cdot {{10}^{ - 12}}\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{Vm}}}}}  = 4,82 \cdot {10^{ - 8}}{\rm{As}}\]

Wir betrachten erneut den Zusammenhang aus Teilaufgabe b):\[\begin{array}{*{20}{l}}{{Q_{{\rm{ges}}}}}&{ = 2 \cdot Q = 2 \cdot \sqrt {{F_{\rm{C}}} \cdot {r^2} \cdot 4\pi {\varepsilon _0}} }\\{}&{ = 2 \cdot \sqrt {m \cdot g \cdot \tan \left( {\frac{\alpha }{2}} \right) \cdot {{\left( {2 \cdot s \cdot \sin \left( {\frac{\alpha }{2}} \right)} \right)}^2} \cdot 4\pi {\varepsilon _0}} }\\{}&{ = 8 \cdot s \cdot \sqrt {{\varepsilon _0} \cdot \pi  \cdot m \cdot g \cdot \tan \left( {\frac{\alpha }{2}} \right) \cdot \sin {{\left( {\frac{\alpha }{2}} \right)}^2}} }\end{array}\]