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Aufgabe

Arbeit und potenzielle Energie im homogenen elektrischen Feld

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Abb. 1 Skizze zur Aufgabe

Zwei parallel zueinander stehende Platten mit Flächeninhalt \(A = 0{,}1129\,\rm{m}^2\) und Plattenabstand \(d = 0{,}310\,\rm{m}\) werden mit der Ladung \(\left| Q \right|= 1{,}00 \cdot 10^{-8}\,\rm{C}\) entgegengesetzt geladen.

Im Zwischenraum der beiden Platten befindet sich eine positive Ladung \(q =  + 1{,}00 \cdot 10^{-2}\,{\rm{C}}\).

Berechne die Arbeit \(W\) (einschließlich Vorzeichen), die für die Bewegung der Ladung von der negativ zur positiv  geladenen Platte benötigt wird.

Gib auch die potenzielle Energie der Ladung (genauer des Systems Platten-Ladung) an der positiv geladenen Platte an, wenn die potenzielle Energie an der negativen Platte \({E_{{\rm{pot}}}} = 0\,{\rm{J}}\) gesetzt wird.

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Plattenladung
Bewegliche Ladung
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Abb. 2 Arbeit an einer Punktladung (genauer am System Platten-Punktladung) beim Bewegen der Punktladung im Zwischenraum zweier entgegengesetzt geladener Platten

Aus \(A = 0{,}1129\,\rm{m}^2\), \(d = 0{,}310\,\rm{m}\) und \(\left| Q \right|= 1{,}00 \cdot 10^{-8}\,\rm{C}\) ergibt sich für den Betrag \(E\) der elektrischen Feldstärke im Zwischenraum der beiden Platten\[E = \frac{1}{{{\varepsilon _0}}} \cdot \frac{\left| Q \right|}{A} \Rightarrow E = \frac{1}{{8{,}854 \cdot {{10}^{-12}}\,\frac{{{\rm{A}\,\rm{s}}}}{{{\rm{V}\,\rm{m}}}}}} \cdot \frac{{1{,}00 \cdot {{10}^{-8}}\,{\rm{C}}}}{{0{,}1129\,{{\rm{m}}^2}}} = 1{,}00 \cdot {10^{4}}\,\frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}}\]und damit für den Betrag \(F_{\rm{el}}\) der elektrischen Kraft auf die bewegliche Ladung mit \(q =  + 1{,}00 \cdot 10^{-2}\,{\rm{C}}\)\[{F_{{\rm{el}}}} = E \cdot q \Rightarrow {F_{{\rm{el}}}} = 1{,}00 \cdot {10^4}\,\frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}} \cdot 1{,}00 \cdot {10^{-2}}\,{\rm{C}} = 1{,}00 \cdot {10^2}\,{\rm{N}}\]Damit ergibt sich für die Arbeit aus\[\left|{W_{{{\rm{x}}_1}{\rm{,}}{{\rm{x}}_2}}}\right| = \left|F_{\rm{el}}\right| \cdot \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\]mit \(x_1 = 0\) und \(x_2 = d\)\[\left| {{W_{{\rm{0}}{\rm{,}}d}}} \right| = \left|{F_{{\rm{el}}}}\right| \cdot \left( {d - 0} \right) = {F_{{\rm{el}}}} \cdot d \Rightarrow \left| {{W_{{\rm{0}}{\rm{,}}d}}} \right| = 1{,}00 \cdot {10^2}\,{\rm{N}} \cdot 0{,}310\,{\rm{m}} = 31\,{\rm{J}}\]Da auf dem Weg die Kraft in Wegrichtung aufgebracht werden muss, ist das Vorzeichen der Arbeit positiv, die Ladung (genauer das System Platten-Ladung) gewinnt also Energie \({W_{{\rm{0}}{\rm{,}}d}} =  + 31\,{\rm{J}}\).

Plattenladung
Bewegliche Ladung
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Abb. 3 Potenzielle Energie einer Punktladung (genauer des Systems Plattenladung-Punktladung) im Zwischenraum zweier entgegengesetzt geladener Platten

Da die potenzielle Energie an der negativen Platte \({E_{{\rm{pot}}}} = 0\,{\rm{J}}\) gesetzt wird, gilt für die potenzielle Energie an der positiven Platte wegen \[{W_{{{\rm{x}}_1}{\rm{,}}{{\rm{x}}_2}}} = {E_{{\rm{pot}}}}\left( {{x_2}} \right) - {E_{{\rm{pot}}}}\left( {{x_1}} \right) \Leftrightarrow {E_{{\rm{pot}}}}\left( {{x_2}} \right) = {E_{{\rm{pot}}}}\left( {{x_1}} \right) + {W_{{{\rm{x}}_1}{\rm{,}}{{\rm{x}}_2}}}\]mit \(x_1 = 0\), \(x_2 = d\) und \({E_{{\rm{pot}}}}\left( 0 \right) = 0\,{\rm{J}}\)\[{E_{{\rm{pot}}}}\left( d \right) = 0\,{\rm{J}} + 31\,{\rm{J}} = 31\,{\rm{J}}\]