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Ausblick

Theorie zum Einschalten von RC-Kreisen

Die in einem physikalischen Experiment gewonnen Messwerte können nur dann sinnvoll ausgewertet werden, wenn der Typ der mathematischen Funktion bekannt ist, durch die die Abhängigkeiten zwischen den relevanten Größen beschrieben werden kann. Aus prinzipiellen Gründen kann der Typ dieser Funktion aber niemals experimentell, sondern nur durch theoretische Überlegungen bestimmt werden. Diese werden für das Einschalten eines Stromkreises mit einem Kondensator im Folgenden durchgeführt.

Ein Kondensator mit der Kapazität \(C\) und ein Widerstand der Größe \(R\) sind in Reihe geschaltet; eine solche Reihenschaltung von Kondensator und Widerstand bezeichnet man kurz als einen RC-Kreis. Über einen Umschalter S kann an diesen RC-Kreis entweder eine elektrische Quelle mit der Nennspannung \({U_0}\) angeschlossen (durchgezogene Leitung) oder aber der RC-Kreis kurzgeschlossen (gestrichelte Leitung) werden.

Wird die Elektrische Quelle angeschlossen, so kann ein Strom fließen, wobei der Stromfluss durch den Widerstand begrenzt wird. Das Anschließen der Elektrischen Quelle und das sich daraus ergebende Verhalten des RC-Kreises bezeichnet man als Einschaltvorgang des RC-Kreises oder kurz als Aufladen eines Kondensators.

Beachtet man, dass die Spannung \({U_0}\) über der Quelle negativ - wir schreiben deshalb \({U_0} =  - \left| {{U_0}} \right|\) - gerechnet wird, so gilt nach der KIRCHHOFF'schen Maschenregel zu jedem Zeitpunkt \(t\) des Einschaltvorgangs die Gleichung\[{U_0} + {U_R}(t) + {U_C}(t) = 0\]Mit \({U_R}(t) = R \cdot I(t)\) (OHM'sches Gesetz; \(I(t)\): Stromstärke im Stromkreis während des Einschaltvorgangs), \(I(t) = \dot Q(t)\) (\(\dot Q(t)\): Änderung der Ladung auf dem Kondensator während des Einschaltvorgangs) und \({U_C}(t) = \frac{Q(t)}{C}\) (Kondensatorformel; \(Q(t)\): Ladung auf dem Kondensator während des Einschaltvorgangs) ergibt sich\[{U_0} + R \cdot \dot Q(t) + \frac{{Q(t)}}{C} = 0\]Setzt man \({U_0} =  - \left| {{U_0}} \right|\), addiert auf beiden Seiten der Gleichung \(\left| {{U_0}} \right|\) und dividiert beide Seiten der Gleichung durch \(R\), so erhält man\[\dot Q(t) + \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot Q(t) = \frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{R}\]Dies ist - zusammen mit der Anfangsbedingung \(Q(0{\rm{s}}) = 0{\rm{As}}\) - die inhomogene Differentialgleichung 1.Ordnung für die Ladung \(Q(t)\) auf dem Kondensator während des Einschaltvorgangs. Die Größe \(\tau  = R \cdot C\) heißt Zeitkonstante.

Diese Differentialgleichung wird gelöst durch die Funktion\[Q(t) = C \cdot \left| {{U_0}} \right| \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}} \right)\]Somit beschreibt die Funktion \(Q(t)\) den zeitlichen Verlauf der Ladung auf dem Kondensator während des Einschaltvorgangs.

Ladung auf dem Kondensator
Aufgabe

Zeige, dass die Funktion \(Q(t)\) die Differentialgleichung erfüllt. Leite dazu die Funktion \(Q(t)\) ab, setze \(\dot Q(t)\) und \( Q(t)\) in die Differentialgleichung ein und fasse schließlich so weit zusammen, dass eine wahre Aussage entsteht.

Lösung

Aus\[Q(t) = C \cdot \left| {{U_0}} \right| \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}} \right)\]erhält man durch Ableiten (Kettenregel)\[\dot Q(t) = C \cdot \left| {{U_0}} \right| \cdot \left( {0 - {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}} \cdot \left( { - \frac{1}{{R \cdot C}}} \right)} \right) = \frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{R} \cdot {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}\]Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt\[\frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{R} \cdot {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}} + \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot C \cdot \left| {{U_0}} \right| \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}} \right) = \frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{R} \cdot {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}} + \frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{R} - \frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{R} \cdot {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}} = \frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{R}\]was zu zeigen war.

Zeige, dass die Funktion \(Q(t)\) die Anfangsbedingung \(Q(0\,\rm{s}) = 0\,{\rm{As}}\) erfüllt.

Lösung

\[Q(0\,{\rm{s}}) = C \cdot \left| {{U_0}} \right| \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot 0\,{\rm{s}}}}} \right) = C \cdot \left| {{U_0}} \right| \cdot \left( {1 - 1} \right) = 0\,{\rm{As}}\]was zu zeigen war.

Bestimme den Grenzwert \(\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } Q(t)\).

Lösung

\[\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } Q(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } C \cdot \left| {{U_0}} \right| \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}} \right) = C \cdot \left| {{U_0}} \right| \cdot \left( {1 - 0} \right) = C \cdot \left| {{U_0}} \right|\]

Erstelle den Graph der Funktion \(Q(t)\) für \(R = 10\,\Omega \), \(C = 0{,}05\,{\rm{F}}\) und \(\left| {{U_0}} \right| = 10\,{\rm{V}}\) und beschreibe den Verlauf des Graphen unter physikalischen Gesichtspunkten. Berücksichtige dabei auch die Ergebnisse der Aufgabenteile b) und c).

Lösung

Die Ladung auf dem Kondensator steigt von \(0\,{\rm{As}}\) ausgehend exponentiell an und nähert sich dem konstanten Endwert \(C \cdot \left| {{U_0}} \right|\).

Zeige, dass nach der Zeit \(t = \tau \) die Ladung auf dem Kondensator ca. \(63\% \) der endgültigen Ladung beträgt.

Lösung

\[Q(\tau ) = Q\left( {R \cdot C} \right) = C \cdot \left| {{U_0}} \right| \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot R \cdot C}}} \right) = C \cdot \left| {{U_0}} \right| \cdot \left( {1 - \frac{1}{e}} \right) \approx 0{,}63 \cdot C \cdot \left| {{U_0}} \right|\]

Berechne die Zeit \({t_{\rm{H}}}\), nach der die Ladung auf dem Kondensator auf die Hälfte der endgültigen Ladung angestiegen ist.

Lösung

Aus der Definition der Halbwertszeit \({t_{\rm{H}}}\) ergibt sich die Gleichung\[Q({t_{\rm{H}}}) = C \cdot \left| {{U_0}} \right| \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot {t_{\rm{H}}}}}} \right) = \frac{1}{2} \cdot C \cdot \left| {{U_0}} \right|\]Dividieren beider Seiten der Gleichung durch \(C \cdot \left| {{U_0}} \right|\) und Auflösen nach \({t_{\rm{H}}}\) ergibt\[1 - {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot {t_{\rm{H}}}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot {t_{\rm{H}}}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow  - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot {t_{\rm{H}}} = \ln \left( {\frac{1}{2}} \right) =  - \ln \left( 2 \right) \Leftrightarrow {t_{\rm{H}}} = R \cdot C \cdot \ln \left( 2 \right)\]

Stromstärke im Stromkreis
Aufgabe

Zeige mit Hilfe des Zusammenhangs \(I(t) = \dot Q(t)\), dass die Funktion \(I(t) = \frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{R} \cdot {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}\) den zeitlichen Verlauf der Stromstärke im Stromkreis während des Einschaltvorgangs beschreibt.

Lösung

\[I(t) = \dot Q(t) = C \cdot \left| {{U_0}} \right| \cdot \left( {0 - {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}} \cdot \left( { - \frac{1}{{R \cdot C}}} \right)} \right) = \frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{R} \cdot {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}\]

Berechne die Stromstärke im Stromkreis zum Zeitpunkt \(t=0\,\rm{s}\).

Lösung

\[I(0\,{\rm{s}}) = \frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{R} \cdot {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot 0{\rm{s}}}} = \frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{R} \cdot 1 = \frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{R}\]Der berechnete Wert entspricht der Stromstärke, die sich im Stromkreis ohne Kondensator einstellen würde.

Bestimme den Grenzwert \(\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } I(t)\).

Lösung

\[\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } I(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( {\frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{R} \cdot {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}} \right) = \frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{R} \cdot 0 = 0\,{\rm{A}}\]

Erstelle den Graph der Funktion \(I(t)\) für \(R = 10\,\Omega \), \(C = 0{,}05\,{\rm{F}}\) und \(\left| {{U_0}} \right| = 10\,{\rm{V}}\) und beschreibe den Verlauf des Graphen unter physikalischen Gesichtspunkten. Berücksichtige dabei auch die Ergebnisse der Aufgabenteile b) und c).

Lösung

Die Stromstärke im Stromkreis sinkt vom Maximalwert \(\frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{R}\) ausgehend exponentiell ab und nähert sich dem Wert \(0\,{\rm{As}}\).

Zeige, dass nach der Zeit \(t = \tau \) die Stromstärke in der Schaltung nur noch ca. \(37\% \) der ursprünglichen Stromstärke beträgt.

Lösung

\[I(\tau ) = I\left( {R \cdot C} \right) = \frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{R} \cdot {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot R \cdot C}} = \frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{R} \cdot \frac{1}{e} \approx 0{,}37 \cdot \frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{R}\]

Berechne die Zeit \({t_{\rm{H}}}\), nach der die Stromstärke auf die Hälfte der endgültigen Stromstärke abgefallen ist.

Lösung

Aus der Definition der Halbwertszeit \({t_{\rm{H}}}\) ergibt sich die Gleichung\[I({t_{\rm{H}}}) = \frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{R} \cdot {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot {t_{\rm{H}}}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{R}\]Dividieren beider Seiten der Gleichung durch \(\frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{R}\) und Auflösen nach \({t_{\rm{H}}}\) ergibt\[{e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot {t_{\rm{H}}}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow  - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot {t_{\rm{H}}} = \ln \left( {\frac{1}{2}} \right) =  - \ln \left( 2 \right) \Leftrightarrow {t_{\rm{H}}} = R \cdot C \cdot \ln \left( 2 \right)\]

Spannung über dem Kondensator
Aufgabe

Zeige mit Hilfe des Zusammenhangs \({U_C}(t) = \frac{Q(t)}{C}\), dass die Funktion \({U_C}(t) = \left| {{U_0}} \right| \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}} \right)\) den zeitlichen Verlauf der Spannung über dem Kondensator während des Einschaltvorgangs beschreibt.

Lösung

\[{U_C}(t) = \frac{{Q(t)}}{C} = \frac{1}{C} \cdot C \cdot \left| {{U_0}} \right| \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}} \right) = \left| {{U_0}} \right| \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}} \right)\]

Berechne die Spannung über dem Kondensator zum Zeitpunkt \(t=0\,\rm{s}\).

Lösung

\[{U_C}(0\,{\rm{s}}) = \left| {{U_0}} \right| \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot 0\,{\rm{s}}}}} \right) = \left| {{U_0}} \right| \cdot \left( {1 - 1} \right) = 0\,{\rm{V}}\]

Bestimme den Grenzwert \(\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {U_C}(t)\).

Lösung

\[\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {U_C}(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left| {{U_0}} \right| \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}} \right) = \left| {{U_0}} \right| \cdot \left( {1 - 0} \right) = \left| {{U_0}} \right|\]

Erstelle den Graph der Funktion \({U_C}(t)\) für \(R = 10\,\Omega \), \(C = 0{,}05\,{\rm{F}}\) und \(\left| {{U_0}} \right| = 10\,{\rm{V}}\) und beschreibe den Verlauf des Graphen unter physikalischen Gesichtspunkten. Berücksichtige dabei auch die Ergebnisse der Aufgabenteile b) und c).

Lösung

Die Spannung über dem Kondensator steigt von \(0\,{\rm{V}}\) ausgehend exponentiell an und nähert sich dem konstanten Endwert \(\left| {{U_0}} \right|\).

Zeige, dass nach der Zeit \(t = \tau \) die Spannung über dem Kondensator ca. \(63\% \) der endgültigen Spannung beträgt.

Lösung

\[{U_C}(\tau ) = {U_C}\left( {R \cdot C} \right) = \left| {{U_0}} \right| \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot R \cdot C}}} \right) = \left| {{U_0}} \right| \cdot \left( {1 - \frac{1}{e}} \right) \approx 0{,}63 \cdot \left| {{U_0}} \right|\]

Berechne die Zeit \({t_{\rm{H}}}\), nach der die Spannung über dem Kondensator auf die Hälfte der endgültigen Spannung angestiegen ist.

Lösung

Aus der Definition der Halbwertszeit \({t_{\rm{H}}}\) ergibt sich die Gleichung\[{U_C}({t_{\rm{H}}}) = \left| {{U_0}} \right| \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot {t_{\rm{H}}}}}} \right) = \frac{1}{2} \cdot \left| {{U_0}} \right|\]Dividieren beider Seiten der Gleichung durch \(\left| {{U_0}} \right|\) und Auflösen nach \({t_{\rm{H}}}\) ergibt\[1 - {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot {t_{\rm{H}}}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot {t_{\rm{H}}}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow  - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot {t_{\rm{H}}} = \ln \left( {\frac{1}{2}} \right) =  - \ln \left( 2 \right) \Leftrightarrow {t_{\rm{H}}} = R \cdot C \cdot \ln \left( 2 \right)\]

Spannung über dem Widerstand
Aufgabe

Zeige mit Hilfe des Zusammenhangs \({U_R}(t) = R \cdot I(t)\), dass die Funktion \({U_R}(t) = \left| {{U_0}} \right| \cdot {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}\) den zeitlichen Verlauf der Spannung über dem Widerstand während des Einschaltvorgangs beschreibt.

Lösung

\[{U_R}(t) = R \cdot I(t) = R \cdot \frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{R} \cdot {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}} = \left| {{U_0}} \right| \cdot {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}\]

Berechne die Spannung über dem Widerstand zum Zeitpunkt \(t=0\,\rm{s}\).

Lösung

\[{U_R}(0\,{\rm{s}}) = \left| {{U_0}} \right| \cdot {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot 0\,{\rm{s}}}} = \left| {{U_0}} \right| \cdot 1 = \left| {{U_0}} \right|\]

Bestimme den Grenzwert \(\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {U_R}(t)\).

Lösung

\[\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {U_R}(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( {\left| {{U_0}} \right| \cdot {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}} \right) = \left| {{U_0}} \right| \cdot 0 = 0\]

Erstelle den Graph der Funktion \({U_R}(t)\) für \(R = 10\,\Omega \), \(C = 0{,}05\,{\rm{F}}\) und \(\left| {{U_0}} \right| = 10\,{\rm{V}}\) und beschreibe den Verlauf des Graphen unter physikalischen Gesichtspunkten. Berücksichtige dabei auch die Ergebnisse der Aufgabenteile b) und c).

Lösung

Die Spannung über dem Widerstand sinkt vom Maximalwert \(\frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{R}\) ausgehend exponentiell ab und nähert sich dem Wert \(0\,{\rm{V}}\).

Zeige, dass nach der Zeit \(t = \tau \) die Spannung über dem Widerstand nur noch ca. \(37\% \) der ursprünglichen Spannung beträgt.

Lösung

\[{U_R}(\tau ) = {U_R}\left( {R \cdot C} \right) = \left| {{U_0}} \right| \cdot {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot R \cdot C}} = \left| {{U_0}} \right| \cdot \frac{1}{e} \approx 0{,}37 \cdot \left| {{U_0}} \right|\]

Berechne die Zeit \({t_{\rm{H}}}\), nach der die Spannung über dem Widerstand auf die Hälfte der endgültigen Spannung abgefallen ist.

Lösung

Aus der Definition der Halbwertszeit \({t_{\rm{H}}}\) ergibt sich die Gleichung\[{U_R}({t_{\rm{H}}}) = \left| {{U_0}} \right| \cdot {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot {t_{\rm{H}}}}} = \frac{1}{2} \cdot \left| {{U_0}} \right|\]Dividieren beider Seiten der Gleichung durch \(\left| {{U_0}} \right|\) und Auflösen nach \({t_{\rm{H}}}\) ergibt\[{e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot {t_{\rm{H}}}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot {t_{\rm{H}}} = \ln \left( {\frac{1}{2}} \right) =  - \ln \left( 2 \right) \Leftrightarrow {t_{\rm{H}}} = R \cdot C \cdot \ln \left( 2 \right)\]

Beim Aufladen eines Kondensators über einen Widerstand durch eine elektrische Quelle führt diese beiden Bauteilen elektrische Energie zu. Während ein Teil dieser Energie im OHM'schen Widerstand in Wärme umgewandelt wird, verbleibt der Rest als Feldenergie im elektrischen Feld des Kondensators.

Leistung am Widerstand
Aufgabe

Bestimme mit Hilfe des Zusammenhangs \(P_R = U_R \cdot I_R = R \cdot {I^2}\) den Funktionsterm der Funktion \(P_R(t)\), die den zeitlichen Verlauf der elektrischen Leistung, die im OHM'schen Widerstand während des Einschaltvorgangs in Wärme umgewandelt wird, beschreibt.

Lösung

\[{P_R}(t) = R \cdot I{(t)^2} = R \cdot \frac{{{{\left| {{U_0}} \right|}^2}}}{{{R^2}}} \cdot {\left( {\frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{R} \cdot {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}} \right)^2} = \frac{{{{\left| {{U_0}} \right|}^2}}}{R} \cdot {e^{ - 2 \cdot \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}\]

Berechne die am Widerstand abgegebene Leistung zum Zeitpunkt \(t=0\,\rm{s}\).

Lösung

\[{P_R}(0\,{\rm{s}}) = \frac{{{{\left| {{U_0}} \right|}^2}}}{R} \cdot {e^{ - 2 \cdot \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot 0\,{\rm{s}}}} = \frac{{{{\left| {{U_0}} \right|}^2}}}{R} \cdot 1 = \frac{{{{\left| {{U_0}} \right|}^2}}}{R}\]

Bestimme den Grenzwert \(\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {P_R}(t)\).

Lösung

\[\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {P_R}(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( {\frac{{{{\left| {{U_0}} \right|}^2}}}{R} \cdot {e^{ - 2 \cdot \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}} \right) = \frac{{{{\left| {{U_0}} \right|}^2}}}{R} \cdot 0 = 0\,{\rm{W}}\]

Erstelle den Graph der Funktion \(P(t)\) für \(R = 10\,\Omega \), \(C = 0{,}05{\rm{F}}\) und \(\left| {{U_0}} \right| = 10\,{\rm{V}}\) und beschreibe den Verlauf des Graphen unter physikalischen Gesichtspunkten. Berücksichtige dabei auch die Ergebnisse der Aufgabenteile b) und c).

Lösung

Die am Widerstand abgegebene Leistung sinkt vom Maximalwert \(\frac{{{{\left| {{U_0}} \right|}^2}}}{R}\) ausgehend exponentiell ab und nähert sich dem Wert \(0\,{\rm{W}}\).

Leistung und Energie am Kondensator (mathematisch anspruchsvoll, aber lösbar)
Aufgabe

Bestimme mit Hilfe des Zusammenhangs \(P_C = U_C \cdot I\) den Funktionsterm der Funktion \(P_C(t)\), die den zeitlichen Verlauf der elektrischen Leistung, die dem Kondensator während des Einschaltvorgangs zugeführt wird, beschreibt.

Lösung

\[{P_C}(t) = {U_C}(t) \cdot I(t) = \left| {{U_0}} \right| \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}} \right) \cdot \frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{R} \cdot {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}} = \frac{{{{\left| {{U_0}} \right|}^2}}}{R} \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}} \right) \cdot {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}} = \frac{{{{\left| {{U_0}} \right|}^2}}}{R} \cdot \left( {{e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}} - {e^{ - 2 \cdot \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}} \right)\]

Berechne die am Kondensator abgegebene Leistung zum Zeitpunkt \(t=0\,\rm{s}\).

Lösung

\[{P_C}(0\,{\rm{s}}) = \frac{{{{\left| {{U_0}} \right|}^2}}}{R} \cdot \left( {{e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot 0\,{\rm{s}}}} - {e^{ - 2 \cdot \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot 0\,{\rm{s}}}}} \right) = \frac{{{{\left| {{U_0}} \right|}^2}}}{R} \cdot \left( {1 - 1} \right) = \frac{{{{\left| {{U_0}} \right|}^2}}}{R} \cdot 0 = 0\,{\rm{W}}\]

Bestimme den Grenzwert \(\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {P_C}(t)\).

Lösung

\[\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {P_C}(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{{{\left| {{U_0}} \right|}^2}}}{R} \cdot \left( {{e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}} - {e^{ - 2 \cdot \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}} \right) = \frac{{{{\left| {{U_0}} \right|}^2}}}{R} \cdot \left( {0 - 0} \right) = \frac{{{{\left| {{U_0}} \right|}^2}}}{R} \cdot 0 = 0\,{\rm{W}}\]

Erstelle den Graph der Funktion \(P_C(t)\) für \(R = 10\,\Omega \), \(C = 0{,}05\,{\rm{F}}\) und \(\left| {{U_0}} \right| = 10\,{\rm{V}}\) und beschreibe den Verlauf des Graphen unter physikalischen Gesichtspunkten. Berücksichtige dabei auch die Ergebnisse der Aufgabenteile b) und c).

Lösung

Die elektrischen Leistung, die dem Kondensator während des Einschaltvorgangs zugeführt wird, steigt von \(0\,{\rm{W}}\) ausgehend zuerst an, erreicht dann ein Maximum und sinkt schließlich wieder ab und näher sich dem Endwert \(0\,{\rm{W}}\).

Bestimme rechnerisch den Zeitpunkt \(t\), an dem dem Kondensator die maximale elektrische Leistung \({P_{C,\max }}\) zugeführt wird und bestimme auch diese maximale Leistung \({P_{C,\max }}\).

Lösung

Durch Ableiten (Kettenregel) erhält man\[\begin{eqnarray}{P_C}^\prime (t) &=& \frac{{{{\left| {{U_0}} \right|}^2}}}{R} \cdot \left( {{e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}} \cdot \left( { - \frac{1}{{R \cdot C}}} \right) - \left( { - 2 \cdot \frac{1}{{R \cdot C}}} \right) \cdot {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}} \right)\\ &=& \frac{{{{\left| {{U_0}} \right|}^2}}}{R} \cdot \left( { - \frac{1}{{R \cdot C}}} \right) \cdot \left( {{e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}} - 2 \cdot {e^{ - 2 \cdot \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}} \right)\\ &=&-\frac{{{{\left| {{U_0}} \right|}^2}}}{C} \cdot \left( {{e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}} - 2 \cdot {e^{ - 2 \cdot \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}} \right)\end{eqnarray}\]Zur Berechnung des Maximums setzt man\[{P_C}^\prime (t) = 0 \Leftrightarrow  - \frac{{{{\left| {{U_0}} \right|}^2}}}{C} \cdot \left( {{e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}} - 2 \cdot {e^{ - 2 \cdot \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}} \right) = 0 \Leftrightarrow {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}} - 2 \cdot {e^{ - 2 \cdot \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}} = 0 \Leftrightarrow {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}} = 2 \cdot {e^{ - 2 \cdot \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}\]Dividieren beider Seiten der Gleichung durch \({e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}\) und Auflösen nach \(t\) liefert\[1 = 2 \cdot {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}} \Leftrightarrow \ln \left( {\frac{1}{2}} \right) =  - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t \Leftrightarrow t = R \cdot C \cdot \ln \left( 2 \right) = {t_{\rm{H}}}\]Damit ergibt sich die maximale Leistung zu\[{P_C}({t_H}) = {U_C}({t_H}) \cdot I({t_H}) = \frac{1}{2} \cdot \left| {{U_0}} \right| \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{R} = \frac{1}{4} \cdot \frac{{{{\left| {{U_0}} \right|}^2}}}{R}\]

Bestimme mit Hilfe des Zusammenhangs \(P(t) = \frac{{dW(t)}}{{dt}}\) bzw. \(W(t) = \int\limits_0^t {dW(t) = } \int\limits_0^t {P(t)dt} \) rechnerisch die Gesamtenergie \({E_{\rm{Kondensator}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {W_C}(t)\), die dem Kondensator während des gesamten Einschaltvorgangs zugeführt wird.

Lösung

\[{W_C}(t) = \int\limits_0^t {{P_C}(t)dt}  = \int\limits_0^t {\frac{{{{\left| {{U_0}} \right|}^2}}}{R} \cdot \left( {{e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}} - {e^{ - 2 \cdot \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}} \right)dt}  = \frac{{{{\left| {{U_0}} \right|}^2}}}{R} \cdot \int\limits_0^t {{e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}} - {e^{ - 2 \cdot \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}dt} \]Mit Hilfe der Stammfunktion erhält man\[{W_C}(t) = \frac{{{{\left| {{U_0}} \right|}^2}}}{R} \cdot \left[ { - R \cdot C \cdot {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}} - \left( { - \frac{{R \cdot C}}{2}} \right) \cdot {e^{ - 2 \cdot \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}} \right]_0^t =  - {\left| {{U_0}} \right|^2} \cdot C \cdot \left[ {{e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}} - \frac{1}{2} \cdot {e^{ - 2 \cdot \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}} \right]_0^t\]Einsetzen der Grenzen liefert\[{W_L}(t) =  - {\left| {{U_0}} \right|^2} \cdot C \cdot \left[ {\left( {{e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}} - \frac{1}{2} \cdot {e^{ - 2 \cdot \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}} \right) - \left( {1 - \frac{1}{2}} \right)} \right] =  - {\left| {{U_0}} \right|^2} \cdot C \cdot \left[ {{e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}} - \frac{1}{2} \cdot {e^{ - 2 \cdot \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}} - \frac{1}{2}} \right]\]Die Gesamtenergie erhält man schließlich durch\[{E_{{\rm{Kondensator}}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {W_L}(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( { - {{\left| {{U_0}} \right|}^2} \cdot C \cdot \left[ {{e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}} - \frac{1}{2} \cdot {e^{ - 2 \cdot \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}} - \frac{1}{2}} \right]} \right)\]und schließlich zu\[{E_{{\rm{Kondensator}}}} =  - {\left| {{U_0}} \right|^2} \cdot C \cdot \left( {0 - \frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2}} \right) =  - {\left| {{U_0}} \right|^2} \cdot C \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2} \cdot C \cdot {\left| {{U_0}} \right|^2}\]

Physikalisch interessant ist nun noch die Frage, wo die Energie, die dem Kondensator während des Aufladevorgangs zugeführt wird, gespeichert wird. Hierzu betrachten wir den speziellen Fall eines Plattenkondensators mit Plattenfläche \(A\) und Plattenabstand \(d\). Die Kapazität \(C\) dieses Kondensators beträgt \(C = {\varepsilon _0} \cdot \frac{A}{d}\), aus der bekannten Formel für die elektrische Feldstärke im Inneren des mit der Spannung \(\left| {{U_0}} \right|\) geladenen Kondensators erhält man\[E = \frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{d} \Leftrightarrow \left| {{U_0}} \right| = d \cdot E\]Damit ergibt sich\[{E_{{\rm{Kondensator}}}} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot {\left| {{U_0}} \right|^2} = \frac{1}{2} \cdot {\varepsilon _0} \cdot \frac{A}{d} \cdot {\left( {d \cdot E} \right)^2} = \frac{1}{2} \cdot {\varepsilon _0} \cdot {E^2} \cdot \left( {A \cdot d} \right) = \frac{1}{2} \cdot {\varepsilon _0} \cdot {E^2} \cdot {V_{{\rm{Kondensator}}}}\]Die Energie, die dem Kondensator während des Aufladevorgangs zugeführt wird, ist also proportional zum Quadrat der elektrischen Feldstärke und zum Volumen des Plattenkondensators. Dies deutet darauf hin, das die dem Kondensator zugeführte Energie im elektrischen Feld des Kondensators verbleibt.