Die in einem physikalischen Experiment gewonnenen Messwerte können nur dann sinnvoll ausgewertet werden, wenn der Typ der mathematischen Funktion bekannt ist, durch die die Abhängigkeiten zwischen den relevanten Größen beschrieben werden kann. Aus prinzipiellen Gründen kann der Typ dieser Funktion aber niemals experimentell, sondern nur durch theoretische Überlegungen bestimmt werden. Diese werden für das Ausschalten eines Stromkreises mit einem Kondensator im Folgenden durchgeführt.
Ein Kondensator mit der Kapazität \(C\) und ein Widerstand der Größe \(R\) sind in Reihe geschaltet; eine solche Reihenschaltung von Kondensator und Widerstand bezeichnet man kurz als einen RC-Kreis. Über einen Wechselschalter S kann an diesen RC-Kreis entweder eine Elektrische Quelle mit der Nennspannung \({U_0}\) angeschlossen (gestrichelte Leitung) oder aber der RC-Kreis kurzgeschlossen (durchgezogene Leitung) werden.
Ist die Elektrische Quelle angeschlossen, so ist nach genügend langer Zeit der Kondensator mit der Ladung \(Q_0=C \cdot \left| {{U_0}} \right|\) aufgeladen (vgl. hierzu die Theorie zum Einschalten von RC-Kreisen).
Wird die Elektrische Quelle abgetrennt und gleichzeitig damit ein Kurzschluss im Stromkreis hergestellt, so kann die Ladung vom Kondensator wieder "abfließen", wobei der Stromfluss durch den Widerstand begrenzt wird. Das Abtrennen der Elektrischen Quelle und das sich daraus ergebende Verhalten des RC-Kreises bezeichnet man als Ausschaltvorgang des RC-Kreises oder kurz als Entladen eines Kondensators.
Nach der KIRCHHOFF'schen Maschenregel gilt nun zu jedem Zeitpunkt \(t\) des Ausschaltvorgangs die Gleichung
\[{U_R}(t) + {U_C}(t) = 0\]
Mit \({U_R}(t) = R \cdot I(t)\) (OHM'sches Gesetz; \(I(t)\): Stromstärke im Stromkreis während des Ausschaltvorgangs), \(I(t) = \dot Q(t)\) (\(\dot Q(t)\): Änderung der Ladung auf dem Kondensator während des Ausschaltvorgangs) und \({U_C}(t) = \frac{Q(t)}{C}\) (Kondensatorformel; \(Q(t)\): Ladung auf dem Kondensator während des Ausschaltvorgangs) ergibt sich
\[R \cdot \dot Q(t) + \frac{{Q(t)}}{C} = 0\]
Dividiert man beide Seiten der Gleichung durch \(R\), so erhält man
\[\dot Q(t) + \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot Q(t) = 0\]
Dies ist - zusammen mit der Anfangsbedingung \(Q(0{\rm{s}}) = C \cdot \left| {{U_0}} \right|\) - die homogene Differentialgleichung 1.Ordnung für die Ladung \(Q(t)\) auf dem Kondensator während des Ausschaltvorgangs. Die Größe \(\tau = R \cdot C\) heißt Zeitkonstante.
Diese Differentialgleichung wird gelöst durch die Funktion
\[Q(t) = C \cdot \left| {{U_0}} \right| \cdot e^{ - \frac{1}{R \cdot C} \cdot t}\]
Somit beschreibt die Funktion \(Q(t)\) den zeitlichen Verlauf der Ladung auf dem Kondensator während des Ausschaltvorgangs.
Ladung auf dem Kondensator
Aufgabe
Zeige, dass die Funktion \(Q(t)\) die Differentialgleichung erfüllt. Leite dazu die Funktion \(Q(t)\) ab, setze \(\dot Q(t)\) und \( Q(t)\) in die Differentialgleichung ein und fasse schließlich so weit zusammen, dass eine wahre Aussage entsteht.
Zeige, dass die Funktion \(Q(t)\) die Anfangsbedingung \(Q(0\,{\rm{s}}) = C \cdot \left| {{U_0}} \right|\) erfüllt.
Bestimme den Grenzwert \(\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } Q(t)\).
Erstelle den Graph der Funktion \(Q(t)\) für \(R = 10\,\Omega \), \(C = 0{,}05\,{\rm{F}}\) und \(\left| {{U_0}} \right| = 10\,{\rm{V}}\) und beschreibe den Verlauf des Graphen unter physikalischen Gesichtspunkten. Berücksichtige dabei auch die Ergebnisse der Aufgabenteile b) und c).
Zeige, dass nach der Zeit \(t = \tau \) die Ladung auf dem Kondensator nur noch ca. \(37\% \) der ursprünglichen Ladung beträgt.
Berechne die Zeit \({t_{\rm{H}}}\), nach der die Ladung auf dem Kondensator auf die Hälfte der ursprünglichen Ladung abgefallen ist.
Stromstärke im Stromkreis
Aufgabe
Zeige mit Hilfe des Zusammenhangs \(I(t) = \dot Q(t)\), dass die Funktion \(I(t) = - \frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{R} \cdot {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}\) den zeitlichen Verlauf der Stromstärke im Stromkreis während des Ausschaltvorgangs beschreibt.
Berechne die Stromstärke im Stromkreis zum Zeitpunkt \(t=0\,\rm{s}\).
Bestimme den Grenzwert \(\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } I(t)\).
Erstelle den Graph der Funktion \(I(t)\) für \(R = 10\,\Omega \), \(C = 0{,}05\,{\rm{F}}\) und \(\left| {{U_0}} \right| = 10\,{\rm{V}}\) und beschreibe den Verlauf des Graphen unter physikalischen Gesichtspunkten. Berücksichtige dabei auch die Ergebnisse der Aufgabenteile b) und c).
Zeige, dass nach der Zeit \(t = \tau \) die Stromstärke in der Schaltung nur noch ca. \(37\% \) der ursprünglichen Stromstärke beträgt.
Berechne die Zeit \({t_{\rm{H}}}\), nach der die Stromstärke auf die Hälfte der ursprünglichen Stromstärke abgefallen ist.
Spannung über dem Kondensator
Aufgabe
Zeige mit Hilfe des Zusammenhangs \({U_C}(t) = \frac{Q(t)}{C}\), dass die Funktion \({U_C}(t) = \left| {{U_0}} \right| \cdot {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}\) den zeitlichen Verlauf der Spannung über dem Kondensator während des Ausschaltvorgangs beschreibt.
Berechne die Spannung über dem Kondensator zum Zeitpunkt \(t=0\,\rm{s}\).
Bestimme den Grenzwert \(\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {U_C}(t)\).
Erstelle den Graph der Funktion \({U_C}(t)\) für \(R = 10\,\Omega \), \(C = 0{,}05\,{\rm{F}}\) und \(\left| {{U_0}} \right| = 10\,{\rm{V}}\) und beschreibe den Verlauf des Graphen unter physikalischen Gesichtspunkten. Berücksichtige dabei auch die Ergebnisse der Aufgabenteile b) und c).
Zeige, dass nach der Zeit \(t = \tau \) die Spannung über dem Kondensator nur noch ca. \(37\,\% \) der ursprünglichen beträgt.
Berechne die Zeit \({t_{\rm{H}}}\), nach der die Spannung über dem Kondensator auf die Hälfte der ursprünglichen Spannung abgefallen ist.
Spannung über dem Widerstand
Aufgabe
Zeige mit Hilfe des Zusammenhangs \({U_R}(t) = R \cdot I(t)\), dass die Funktion \({U_R}(t) =- \left| {{U_0}} \right| \cdot {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}\) den zeitlichen Verlauf der Spannung über dem Widerstand während des Ausschaltvorgangs beschreibt.
Berechne die Spannung über dem Widerstand zum Zeitpunkt \(t=0\,\rm{s}\).
Bestimme den Grenzwert \(\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {U_R}(t)\).
Erstelle den Graph der Funktion \({U_R}(t)\) für \(R = 10\,\Omega \), \(C = 0{,}05\,{\rm{F}}\) und \(\left| {{U_0}} \right| = 10\,{\rm{V}}\) und beschreibe den Verlauf des Graphen unter physikalischen Gesichtspunkten. Berücksichtige dabei auch die Ergebnisse der Aufgabenteile b) und c).
Zeige, dass nach der Zeit \(t = \tau \) die Spannung über dem Widerstand nur noch ca. \(37\,\% \) der ursprünglichen Spannung beträgt.
Berechne die Zeit \({t_{\rm{H}}}\), nach der die Spannung über dem Widerstand auf die Hälfte der ursprünglichen Spannung abgefallen ist.
Leistung am Widerstand
Aufgabe
Bestimme mit Hilfe des Zusammenhangs \(P_R = U_R \cdot I_R = R \cdot {I^2}\) den Funktionsterm der Funktion \(P_R(t)\), die den zeitlichen Verlauf der elektrischen Leistung, die im OHM'schen Widerstand während des Ausschaltvorgangs in Wärme umgewandelt wird, beschreibt.
Berechne die am Widerstand abgegebene Leistung zum Zeitpunkt \(t=0\,\rm{s}\).
Bestimme den Grenzwert \(\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {P_R}(t)\).
Erstelle den Graph der Funktion \(P(t)\) für \(R = 10\,\Omega \), \(C = 0{,}05{\rm{F}}\) und \(\left| {{U_0}} \right| = 10\,{\rm{V}}\) und beschreibe den Verlauf des Graphen unter physikalischen Gesichtspunkten. Berücksichtige dabei auch die Ergebnisse der Aufgabenteile b) und c).
Leistung und Energie am Kondensator (mathematisch anspruchsvoll, aber lösbar)
Aufgabe
Bestimme mit Hilfe des Zusammenhangs \(P_C = U_C \cdot I\) den Funktionsterm der Funktion \(P_C(t)\), die den zeitlichen Verlauf der elektrischen Leistung, die vom Kondensator während des Ausschaltvorgangs abgegeben wird, beschreibt.
Berechne die vom Kondensator abgegebene Leistung zum Zeitpunkt \(t=0\,\rm{s}\).
Bestimme den Grenzwert \(\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {P_C}(t)\).
Erstelle den Graph der Funktion \(P_C(t)\) für \(R = 10\,\Omega \), \(C = 0{,}05\,{\rm{F}}\) und \(\left| {{U_0}} \right| = 10\,{\rm{V}}\) und beschreibe den Verlauf des Graphen unter physikalischen Gesichtspunkten. Berücksichtige dabei auch die Ergebnisse der Aufgabenteile b) und c).
Bestimme mit Hilfe des Zusammenhangs \(P(t) = \frac{{dW(t)}}{{dt}}\) bzw. \(W(t) = \int\limits_0^t {dW(t) = } \int\limits_0^t {P(t)dt} \) rechnerisch die Gesamtenergie \({E_{\rm{Kondensator}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {W_C}(t)\), die vom Kondensator während des gesamten Ausschaltvorgangs abgegeben wird.