Die Spannungsverhältnisse eines Spannungsteilers ändern sich, wenn ein Zweig des Spannungsteilers durch einen Lastwiderstand belastet wird.
Material
- Elektrische (Strom-)Quelle mit einer regelbaren Gleichspannung von ca. \(12\,\rm{V}\)
- Widerstände in verschiedenen Größen ab ca. \(10\,\rm{\Omega}\), belastbar bis ca. \(2\,\rm{W}\)
- Lastwiderstand, z.B. Glühlampe \(4\,\rm{V}\;|\;0{,}3\,\rm{A}\) (Hinweis: Liegt an der Glühlampe eine Spannung von \(4\,\rm{V}\) an, so beträgt ihr Widerstand \(15\,\Omega\); bei kleineren Spannungen ist ihr Widerstand kleiner)
- 3 Spannungsmesser, möglichst hochohmig
- Steckbrett und Kabel
Aufbau und Durchführung
Ein belasteter Spannungsteiler besteht aus zwei in Reihe geschalteten Widerständen mit den Werten \(R_1\) und \(R_2\), die an eine elektrische Quelle mit der Spannung \(U_0\) angeschlossen werden. Im Gegensatz zum unbelasteten Spannungsteiler ist parallel zu einem der beiden Widerstände (hier z.B. zum Widerstand mit \(R_1\)) ein Lastwiderstand mit dem Wert \(R_{\rm{L}}\) geschaltet.
Zur Untersuchung der Funktionsweise eines belasteten Spannungsteilers messen wir mit drei Spannungsmessern die Spannung \(U_0\) der elektrischen Quelle sowie die beiden Spannungen \(U_1\) und \(U_2\), die über den entsprechenden Widerständen abfallen.
Abb. 1 zeigt sowohl den Versuchsaufbau als auch den Schaltplan der Schaltung zur Untersuchung der Funktionsweise eines belasteten Spannungsteilers.
Die Simulation in Abb. 2 ermöglicht es dir, die Spannungen \(U_1\) und \(U_2\) in Abhängigkeit von der Spannung \(U_0\) und den Werten \(R_1\), \(R_2\) und \(R_{\rm{L}}\) der drei Widerstände zu untersuchen.
Beobachtung
Aufgabe
Fülle mit Hilfe der Simulation in Abb. 2 die Wertetabelle Tab. 1a aus.
Bestätige dadurch, dass bei einem belasteten Spannungsteiler der vom unbelasteten Spannungsteiler bekannte Zusammenhang \(\frac{U_1}{U_2}=\frac{R_1}{R_2}\) nicht gilt.
| \(U_0\;\rm{in\;V}\) | \(R_1\;\rm{in\;\Omega}\) | \(R_2\;\rm{in\;\Omega}\) | \(\frac{R_1}{R_2}\) | \(R_{\rm{L}}\;\rm{in\;\Omega}\) | \(U_1\;\rm{in\;V}\) | \(U_2\;\rm{in\;V}\) | \(\frac{U_1}{U_2}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(8{,}0\) | \(10\) | \(10\) | \(13\) | \(2{,}89\) | \(5{,}11\) | ||
| \(4{,}0\) | \(10\) | \(10\) | \(1{,}0\) | \(13\) | \(1{,}44\) | ||
| \(8{,}0\) | \(10\) | \(0{,}33\) | \(13\) | \(6{,}73\) | |||
| \(8{,}0\) | \(10\) | \(13\) | \(4{,}00\) | \(4{,}00\) | \(1{,}00\) |
Erklärung
Aufgabe
Erläutere qualitativ, warum - im Gegensatz zum unbelasteten - beim belasteten Spannungsteiler das Verhältnis \(\frac{U_1}{U_2}\) der Spannungen nicht gleich dem Verhältnis \(\frac{R_1}{R_2}\) der Widerstandswerte ist.
Betrachte dazu auch den Schaltplan des belasteten Spannungsteilers in Abb. 1b oder in Abb. 2.
Erkläre durch zwei Rechnungen, warum
- in der ersten Zeile von Tab. 1b trotz einem Verhältnis von \(\frac{R_1}{R_2} = 1{,}0\) das Verhältnis \(\frac{U_1}{U_2} \ne 1{,}0\) ist.
- in der vierten Zeile von Tab. 1b trotz einem Verhältnis von \(\frac{R_1}{R_2} \ne 1{,}0\) das Verhältnis \(\frac{U_1}{U_2} = 1{,}0\) ist.
Ergebnis
Im Gegensatz zum unbelasteten Spannungsteiler ergibt sich beim belasteten Spannungsteiler die Spannung \(U_{\rm{L}}=U_1\), die über dem Lastwiderstand anliegt, nicht durch das Verhältnis \(\frac{R_1}{R_2}\) der beiden Widerstände \(R_1\) und \(R_2\) des Spannungsteilers.
Stattdessen muss immer der Wert \(R_{\rm{L}}\) des Lastwiderstands mit berücksichtigt werden. Es gilt\[\frac{U_1}{U_2}=\frac{R_{\rm{1,L}}}{R_2} \quad {\rm{mit}} \quad R_{\rm{1,L}}=\frac{R_1 \cdot R_{\rm{L}}}{R_1 + R_{\rm{L}}}\]
Wir hatten oben Folgendes erkannt:
- Beim belasteten Spannungsteiler sind der linke Widerstand und der Lastwiderstand parallel geschaltet.
- Der Gesamtwiderstand dieser Parallelschaltung ist deshalb immer kleiner als der linke Widerstand.
- Über der Parallelschaltung und damit dem Lastwiderstand fällt also weniger Spannung ab, als für den Betrieb der Last nötig ist.
Wir zeigen nun 5 verschiedene Möglichkeiten, den Spannungsteiler so zu verändern, dass über dem Lastwiderstand (hier der Glühlampe) wieder so viel Spannung (hier \(4\,\rm{V}\)) abfällt, wie für den Betrieb der Last nötig ist.
Lösungsvariante 1 (Verändern des linken Widerstands)
Die erste Möglichkeit, dieses Problem zu lösen besteht darin, den linken Widerstand so zu vergrößern, dass der Widerstand der Parallelschaltung genau so groß ist wie der rechte Widerstand.
Vorteile
- Der Gesamtwiderstand des belasteten Spannungsteilers ist genau so groß wie der des unbelasteten.
- Die Berechnung des "neuen" linken Widerstands ist relativ einfach.
Nachteile
- Diese Lösung funktioniert nur dann, wenn der Lastwiderstand größer als der rechte Widerstand ist.
- Durch die Schaltung fließt weiterhin mehr Strom als nötig.
Lösungsvariante 2 (Verändern des rechten Widerstands)
Die zweite Möglichkeit, dieses Problem zu lösen besteht darin, den rechten Widerstand so zu verkleinern, dass der rechte Widerstand genau so groß wie der Widerstand der Parallelschaltung ist.
Vorteile
- Diese Lösung funktioniert immer.
- Die Berechnung des "neuen" linken Widerstands ist relativ einfach.
Nachteil
- Der Gesamtwiderstand des belasteten Spannungsteilers ist kleiner als der des unbelasteten, es fließt also ein noch größerer Strom als nötig.
Lösungsvariante 3 (Verändern beider Widerstände)
Die dritte Möglichkeit, dieses Problem zu lösen besteht darin, den linken Widerstand zu vergrößern und den rechten Widerstand zu verkleinern und zwar so, dass der Gesamtwiderstand der geänderten Widerstände genau so groß ist wie der der ursprünglichen.
Vorteile
- Diese Lösung funktioniert immer.
- Der Gesamtwiderstand des veränderten unbelasteten Spannungsteilers ist genau so groß wie der des ursprünglichen.
Nachteil
- Die Berechnung der "neuen" Widerstände ist kompliziert.
- Ein Teil des Stroms fließt durch den linken Widerstand, es fließt also immer noch ein größerer Strom als nötig.
Lösungsvariante 4 (Verändern beider Widerstände)
Lösungsvariante 5 (Entfernen des linken und Verändern des rechten Widerstands)
Die vierte und eleganteste Möglichkeit, das Problem zu lösen besteht darin, den linken Widerstand komplett zu entfernen und den rechten Widerstand so zu wählen, dass über dem Lastwiderstand die nötige Spannung abfällt.
Vorteile
- Diese Lösung funktioniert immer.
- Die Berechnung des "neuen" rechten Widerstands ist einfach.
- Es fließt genau so viel Strom, wie für den Betrieb der Last notwendig ist.
- Die Last ersetzt einen Widerstand des Spannungsteilers, man benötigt also nur noch einen Widerstand im Spannungsteiler statt zweier.