Elektrizitätslehre

Komplexere Schaltkreise

Parallelschaltung von Widerständen

  • Warum werden Steckdosen parallel geschaltet?
  • Wie sind die Lampen einer Lichterkette angeordnet?
  • Wie erweitert man den Messbereich von Messgeräten?

Parallelschaltung von Widerständen

2 Zielsetzung bei der Berechnung des Ersatzwiderstandes einer Parallelschaltung zweier Widerstände

Wir bezeichnen den Ersatz- oder Gesamtwiderstand der Parallelschaltung von \(R_1\) und \(R_2\) mit \(R_{12}\). Diesen Ersatzwiderstand \(R_{12}\) können wir berechnen, indem wir für die linke Schaltung zwei Erkenntnisse aus dem Experiment nutzen:

Über beiden Widerständen \(R_1\) und \(R_2\) fällt die gleiche Spannung \(U\) ab.

Addiert man die beiden Stromstärken \(I_1\) und \(I_2\), so ergibt sich die Stromstärke \(I\).

Hinweis: Diese beiden Erkenntnisse ergeben sich auch aus der Maschen- und der Knotenregel von KIRCHHOFF.

Für die linke Schaltung ergibt sich dann zusammen mit dem OHMschen Gesetz\[\begin{eqnarray}I &=& {I_1} + {I_2}\\ &=& \frac{U}{{{R_1}}} + \frac{U}{{{R_2}}}\\ &=& U \cdot \left( {\frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}}} \right)\end{eqnarray}\]und damit\[{\frac{I}{U} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}}}\quad (1)\]Für die rechte Ersatzschaltung gilt nach dem OHMschen Gesetz\[\begin{eqnarray}U &=& I \cdot {R_{12}}\\ \Leftrightarrow \frac{I}{U} &=& \frac{1}{{{R_{12}}}}\quad (2)\end{eqnarray}\]Der Vergleich von \((1)\) und \((2)\) ergibt\[\frac{1}{{{R_{12}}}} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}}\]Man kann leicht zeigen, dass der Wert des Ersatzwiderstands \(R_{12}\) stets kleiner als der Wert des niedrigsten Einzelwiderstands ist.

Parallelschaltung von Widerständen

Schalten wir zwei Widerstände \(R_1\) und \(R_2\) parallel, dann berechnet sich der Ersatz- oder Gesamtwiderstand \(R_{12}\) durch\[\frac{1}{{{R_{12}}}} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}}\]Für die Parallelschaltung von \(n\) Widerständen gilt\[\frac{1}{{{R_{\rm{ges}}}}} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}} + \;... + \frac{1}{{{R_n}}}\]Merke: Der Wert des Ersatzwiderstands einer Parallelschaltung ist stets kleiner als der Wert des niedrigsten Einzelwiderstands.

Mathematische Hilfen

Um Aufgaben zur Parallelschaltung von Widerständen zu lösen musst du häufig die Gleichung \(\frac{1}{{{R_{{\rm{ges}}}}}} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}}\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation.

Um die Gleichung\[\frac{1}{\color{Red}{{R_{\rm{ges}}}}} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}}\]nach \(\color{Red}{{R_{\rm{ges}}}}\) aufzulösen, musst du zwei Umformungen durchführen:


Addiere die Brüche auf der rechten Seite der Gleichung, indem du sie auf den gleichen Nenner bringst und die Zähler addierst.\[\frac{1}{\color{Red}{{R_{\rm{ges}}}}} = \frac{{{R_2}}}{{{R_1}} \cdot {{R_2}}} + \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}\cdot {{R_1}}} = \frac{{{R_2}}+{{R_1}}}{{{R_1}}\cdot {{R_2}}}\]
Bilde auf beiden Seiten der Gleichung den Kehrwert der Brüche.\[\color{Red}{{R_{\rm{ges}}}} = \frac{{{R_1}} \cdot {{R_2}}}{{{R_2}}+{{R_1}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{R_{\rm{ges}}}}\) aufgelöst.
Um die die Gleichung\[\frac{1}{{{R_{\rm{ges}}}}} = \frac{1}{\color{Red}{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}}\]nach \(\color{Red}{{R_1}}\) aufzulösen, musst du vier Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[\frac{1}{\color{Red}{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}} = \frac{1}{{{R_{\rm{ges}}}}}\]
Subtrahiere auf beiden Seiten der Gleichung \(\frac{1}{{{R_2}}}\).\[\frac{1}{\color{Red}{{R_1}}} = \frac{1}{{{R_{\rm{ges}}}}} - \frac{1}{{{R_2}}}\]
Subtrahiere die Brüche auf der rechten Seite der Gleichung, indem du sie auf den gleichen Nenner bringst und die Zähler subtrahierst.\[\frac{1}{\color{Red}{{R_1}}} = \frac{{{R_2}}}{{{R_{\rm{ges}}}} \cdot {{R_2}}} - \frac{{{R_{\rm{ges}}}}}{{{R_2}}\cdot {{R_{\rm{ges}}}}} = \frac{{{R_2}} - {{R_{\rm{ges}}}}}{{{R_{\rm{ges}}}}\cdot {{R_2}}}\]
Bilde auf beiden Seiten der Gleichung den Kehrwert der Brüche.\[\color{Red}{{R_1}} = \frac{{{R_{\rm{ges}}}} \cdot {{R_2}}}{{{R_2}} - {{R_{\rm{ges}}}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{R_1}}\) aufgelöst.
Um die die Gleichung\[\frac{1}{{{R_{\rm{ges}}}}} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{\color{Red}{{R_2}}}\]nach \(\color{Red}{{R_2}}\) aufzulösen, musst du vier Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[\frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{\color{Red}{{R_2}}} = \frac{1}{{{R_{\rm{ges}}}}}\]
Subtrahiere auf beiden Seiten der Gleichung \(\frac{1}{{{R_1}}}\).\[\frac{1}{\color{Red}{{R_2}}} = \frac{1}{{{R_{\rm{ges}}}}} - \frac{1}{{{R_1}}}\]
Subtrahiere die Brüche auf der rechten Seite der Gleichung, indem du sie auf den gleichen Nenner bringst und die Zähler subtrahierst.\[\frac{1}{\color{Red}{{R_2}}} = \frac{{{R_1}}}{{{R_{\rm{ges}}}} \cdot {{R_1}}} - \frac{{{R_{\rm{ges}}}}}{{{R_1}}\cdot {{R_{\rm{ges}}}}} = \frac{{{R_1}} - {{R_{\rm{ges}}}}}{{{R_{\rm{ges}}}}\cdot {{R_1}}}\]
Bilde auf beiden Seiten der Gleichung den Kehrwert der Brüche.\[\color{Red}{{R_2}} = \frac{{{R_{\rm{ges}}}} \cdot {{R_1}}}{{{R_1}} - {{R_{\rm{ges}}}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{R_2}}\) aufgelöst.
3 Schrittweises Auflösen der Gleichung \(\frac{1}{{{R_{{\rm{ges}}}}}} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}}\) nach den drei in der Formel auftretenden Größen
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