Elektrizitätslehre

Komplexere Schaltkreise

KIRCHHOFFsche Gesetze für Fortgeschrittene

  • Warum werden Steckdosen parallel geschaltet?
  • Wie sind die Lampen einer Lichterkette angeordnet?
  • Wie erweitert man den Messbereich von Messgeräten?

KIRCHHOFFsche Gesetze für Fortgeschrittene

1 Bedeutung des physikalischen Begriffs eines Knotens

Zum in der Animation in Abb. 1 skizzierten Knotenpunkt in einer Schaltung laufen mehrere Leitungen. Vereinbahrt man, dass die zum Knoten hinfließenden Ströme positiv und die vom Knoten wegfließenden Ströme negativ gezählt werden, so gilt in dem Beispiel\[{I_1} + {I_2} + {I_3} - {I_4} - {I_5} = 0\]Die Verallgemeinerung der Knotenregel lautet dann

1. Regel von KIRCHHOFF: Knotenregel

In jedem Verzweigungspunkt (Knoten) eines Stromkreises ist die Summe aller (mit Vorzeichen angegebener) Ströme gleich Null.\[{I_1} + {I_2} + {I_3} + ... + {I_n} = 0\]

Bei einfacheren Stromkreisen (Mittelstufe) mit nur einer Spannungsquelle wurde die Maschenregel in der folgenden Form formuliert:

Die Spannung der Quelle ist gleich der Summe der Teilspannungen auf einem Weg vom Pluspol zum Minuspol der Quelle

Bei komplexeren Netzwerken mit mehreren Quellen und Widerständen und evtuell mehreren Maschen (eine Masche oder auch Stromschleife besteht i.a. aus mehreren elektrischen Bauteilen und Spannungsquellen, die so angeordnet sind, dass sich ein geschlossener Stromkreis ergibt) hat es - ähnlich wie mit den Strömen bei der Knotenregel - bewährt, nicht mehr nur von positiven Spannungen auszugehen.

Zunächst soll der die Änderung der potententiellen Einergie einer positiven Ladung \(q\) beim Durchwandern des nebenstehend skizzierten Kreises von Punkt A aus betrachtet werden:

Im Widerstand \(R_1\) verliert die Ladung die potentielle Energie \(\Delta {E_{\rm{pot,1}}} = q \cdot {U_1}\), analog geht beim Durchwandern des Widerstandes \(R_2\) die potentielle Energie \(\Delta {E_{\rm{pot,2}}} = q \cdot {U_2}\) verloren. Beim Durchlaufen der Spannungsquelle gewinnt die Ladung die potentielle Energie \(\Delta {E_{\rm{pot,bat}}} = q \cdot {U_{\rm{bat}}}\). Bei Wiederankunft im Punkt A hat die Ladung wieder die gleiche potentielle Energie wie zu Beginn des Durchlaufs. Fachmännischer ausgedrückt sagt man: "Die Ladung ist wieder auf dem gleichen Potential".

 

Das oben Gesagte wird durch die folgende Gleichung ausgedrückt:
\[q \cdot {U_1} + q \cdot {U_2} + q \cdot {U_{\rm{bat}}} = 0\]
Dividiert man diese Gleichung durch \(q\), so erhält man: \({U_1} + {U_2} + {U_{\rm{bat}}} = 0\). Diese Gleichung lässt sich nur erfüllen, wenn man für die Spannung positive und negative Werte zulässt.

Die Maschenregel von KIRCHHOFF lässt sich allgemein in der Form schreiben:

2. Regel von KIRCHHOFF: Maschenregel

Beim Durchlaufen einer Masche in einem willkürlich gewählten Durchlaufsinn ist die Summe aller (mit Vorzeichen angegebener) Spannungen gleich Null.
\[{U_1} + {U_2} + {U_3} + ... + {U_n} = 0\]

 

Wie man mit den KIRCHHOFFschen Regeln bei komplexen Stromkreisen sicher umgehen kann, wird an zwei Beispielen erläutert.

Beispiel 1: Stromkreis mit einer Masche

Um die technische Stromrichtung in der skizzierten Schaltung vorhersagen zu können, müsste man die Beträge der Batteriespannungen kennen. Für eine allgemeine Rechnung kann man die Richtung des Stromes einfach willkürlich festlegen; meist gibt man jedoch die technische Stromrichtung "von Plus nach Minus" vor. Ergibt sich bei der Rechnung ein positiver Wert für den Strom \(I\), so fließt der Strom in Pfeilrichtung. Ergibt sich ein negativer Stromwert, so fließt der Strom entgegen der gewählten Pfeilrichtung. Alle Spannungspfeile, die in Durchlaufrichtung zeigen, werden positiv gezählt. Spannungspfeile, die entgegen den Durchlaufsinn zeigen, werden negativ gezählt. Wir stellen hier drei verschiedene Ansätze vor, die aber alle zum gleichen Ergebnis führen.

gegeben: \(\left| {{U_{{\rm{bat}}{\rm{,1}}}}} \right| = 12{\rm{V}}\), \(\left| {{U_{{\rm{bat}}{\rm{,2}}}}} \right| = 9{\rm{V}}\), \({R_1} = 3\Omega \), \({R_2} = 8\Omega \) und \({R_3} = 4\Omega \)

gesucht: \(I\)

Ansatz 1: Allgemeine Berechnung des Stroms mit Hilfe der rechts dargestellten Pfeilwahl

Wir wenden die Maschenregel an:
\[\begin{eqnarray} - \left| {{U_{{\rm{bat}}{\rm{,1}}}}} \right| + {U_1} + \left| {{U_{{\rm{bat}}{\rm{,2}}}}} \right| + {U_2} + {U_3} &=& 0\\ - 12{\rm{V}} + I \cdot 3\Omega + 9{\rm{V}} + I \cdot 8\Omega + I \cdot 4\Omega &=& 0\\I \cdot \left( {3\Omega + 8\Omega + 4\Omega } \right) &=& 12{\rm{V}} - 9{\rm{V}}\\I &=& \frac{{12{\rm{V}} - 9{\rm{V}}}}{{3\Omega + 8\Omega + 4\Omega }} = \frac{{3{\rm{V}}}}{{15\Omega }} = 0,2{\rm{A}}\end{eqnarray}\]
Um zu zeigen, dass weder die Wahl der Stromrichtung noch die des Druchlaufsinns einen Einfluss auf das Ergebnis hat, werden noch zwei weitere Ansätze durchgeführt.

 

 

Verständnisaufgabe

Aufgabe: Stromkreis mit drei Maschen

Gegeben ist die nebenstehende Schaltung mit den Daten \(\left| {{U_{{\rm{bat,1}}}}} \right| = 10,8{\rm{V}}\), \(\left| {{U_{{\rm{bat,2}}}}} \right| = 3,2{\rm{V}}\), \({R_1} = 6,0\Omega \), \({R_2} = 8,0\Omega \) und \({R_3} = 4,0\Omega \).

Verdeutliche in der obigen Schaltskizze, dass die Schaltung 3 Maschen und 2 Knoten aufweist.

Lösung

Die 3 grünen Bögen deuten die 3 Maschen an:

1. Masche mit \({U_{{\rm{bat,1}}}}\), \(R_1\) und \(R_2\)

2. Masche mit \({U_{{\rm{bat,2}}}}\), \(R_3\) und \(R_2\)

3. Masche mit \({U_{{\rm{bat,1}}}}\), \({U_{{\rm{bat,2}}}}\), \(R_1\) und \(R_3\)

Die 2 schwarzen Kreise mit den Ziffern deuten die 2 Knoten an.

Berechne aus den gegeben Daten die Stromstärken \(I\), \(I_2\) und \(I_3\).

Lösung

Zur Berechnung der 3 unbekannten Stromstärken sind 3 Gleichungen notwendig:

1. Gleichung aus der Kontenregel für Knoten 1 (man könnte auch Knoten 2 nehmen):
\[ + I - {I_2} - {I_3} = 0 \quad (1)\]
2. Gleichung aus der Maschenregel für Masche 1
\[ - \left| {{U_{{\rm{bat,1}}}}} \right| + {U_1} + {U_2} = 0 \Leftrightarrow  - \left| {{U_{{\rm{bat,1}}}}} \right| + I \cdot {R_1} + {I_2} \cdot {R_2} = 0\quad (2)\]
3. Gleichung aus der Maschenregel für Masche 2
\[\left| {{U_{{\rm{bat,2}}}}} \right| + {U_3} - {U_2} = 0 \Leftrightarrow \left| {{U_{{\rm{bat,2}}}}} \right| + {I_3} \cdot {R_3} - {I_2} \cdot {R_2} = 0\quad (3)\]
Damit nicht zu "voluminöse Ausdrücke" entstehen, sollen von nun an die gegebenen Zahlenwerte eingesetzt werden:
\[\begin{eqnarray}I - {I_2} - {I_3} &=& 0\quad(1)\\ - 10,8{\rm{V}} + I \cdot 6,0\Omega + {I_2} \cdot 8,0\Omega &=& 0\quad(2)\\3,2{\rm{V}} + {I_3} \cdot 4,0\Omega - {I_2} \cdot 8,0\Omega &=& 0\quad(3)\end{eqnarray}\]
Lösen dieses Linearen Gleichungssystems für die 3 Unbekannten \(I\), \(I_2\) und \(I_3\) z.B. mit dem Eliminationsverfahren von GAUSS liefert \(I = 1,0A\), \({I_2} = 0,60{\rm{A}}\) und \({I_3} = 0,40{\rm{A}}\)

Berechne die Spannungen, die über den Widerständen \(R_1\), \(R_2\) und \(R_3\) anliegen.

Lösung

Nach dem Gesetz von OHM ergibt sich
\[{U_1} = {R_1} \cdot I \Rightarrow {U_1} = 6,0\Omega \cdot 1,0{\rm{A}} = 6,0{\rm{V}}\]
\[{U_2} = {R_2} \cdot {I_2} \Rightarrow {U_2} = 8,0\Omega \cdot 0,6{\rm{A}} = 4,8{\rm{V}}\]
\[{U_3} = {R_3} \cdot {I_3} \Rightarrow {U_3} = 4,0\Omega \cdot 0,4{\rm{A}} = 1,6{\rm{V}}\]

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