Elektrizitätslehre

Komplexere Schaltkreise

Berechnung von Schaltungen

  • Warum werden Steckdosen parallel geschaltet?
  • Wie sind die Lampen einer Lichterkette angeordnet?
  • Wie erweitert man den Messbereich von Messgeräten?

Berechnung von Schaltungen

Wenn der Ersatzwiderstand bei Parallel- und Serienschaltung bekannt ist, kann man auch an die Berechnung komplexer Schaltungen gehen. Die Aufgabenstellung könnte z.B. so aussehen:

Aufgabe

Berechne bei gegebener Spannung \(U=10\rm{V}\) und bekannten Werten für die drei Widerstände (\({R_1} = 100\Omega \), \({R_2} = 200\Omega \), \({R_3} = 50\Omega \)) alle Ströme und alle Teilspannungen.

2 Vorgehensweise bei der Berechnung einer Schaltung mit drei Widerständen

Wir zeigen dir nun, wie wie man schrittweise vorgeht, um diese Aufgabe zu lösen. Die grundlegende Strategie siehst du in der Animation in Abb. 2: Zuerst berechnet man den Ersatzwiderstand der Parallelschaltung der beiden Widerstände, dann den Ersatzwiderstand der Reihenschaltung des Widerstands mit dem Ersatzwiderstand.

Zunächst wird der Ersatzwiderstand \({{R_{23}}}\) der Parallelschaltung der beiden Widerstände \({{R_2}}\) und \({{R_3}}\) bestimmt:\[{\frac{1}{{{R_{23}}}} = \frac{1}{{{R_2}}} + \frac{1}{{{R_3}}} = \frac{{{R_3}}}{{{R_2} \cdot {R_3}}} + \frac{{{R_2}}}{{{R_3} \cdot {R_2}}} = \frac{{{R_3} + {R_2}}}{{{R_2} \cdot {R_3}}} \Rightarrow {R_{23}} = \frac{{{R_2} \cdot {R_3}}}{{{R_2} + {R_3}}}}\]

 

Danach wird der Ersatzwiderstand \({R_{123}}\) für die Serienschaltung von \({{R_1}}\) und \({{R_{23}}}\) bestimmt:\[ R_{123} = R_{1} + R_{23} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert für \({R_{123}}\)
\[{R_{123}} = {R_1} + \frac{{{R_2} \cdot {R_3}}}{{{R_2} + {R_3}}} \Rightarrow {R_{123}} = 100\Omega  + \frac{{200\Omega  \cdot 50\Omega }}{{200\Omega  + 50\Omega }} = 100\Omega  + 40\Omega  = 140\Omega \]
Damit ergibt sich für \(I_1\)
\[{I_1} = \frac{U}{{{R_{123}}}} \Rightarrow {I_1} = \frac{{10{\rm{V}}}}{{140\Omega }} = 71{\rm{mA}}\]

 

Weiter ergibt sich für \(U_1\)
\[{{\rm{U}}_1} = {I_1} \cdot {R_1} \Rightarrow {{\rm{U}}_1} = 71 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{A}} \cdot 100\Omega  = 7,1{\rm{V}}\]

 

Da die beiden Widerstände \({{R_2}}\) und \({{R_3}}\) parallel geschaltet sind, ist die Spannung, die an ihnen anliegt gleich. Damit ergibt sich nach der Maschenregel
\[{U_2} = {U_3} = U - {U_1} \Rightarrow {U_2} = {U_3} = 10{\rm{V}} - 7,1{\rm{V}} = 2,9{\rm{V}}\]
Weiter ergibt sich für die Ströme \(I_2\) und \(I_3\)
\[{I_2} = \frac{{{U_2}}}{{{R_2}}} \Rightarrow {I_2} = \frac{{2,9{\rm{V}}}}{{200\Omega }} = 15{\rm{mA}}\]
und schließlich aufgrund der Knotenregel
\[{I_3} = {I_1} - {I_2} \Rightarrow {I_3} = 71{\rm{mA}} - 15{\rm{mA}} = 56{\rm{mA}}\]

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