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Aufgabe

Ungewohnte Schaltungen

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Jeder Widerstand in den folgenden Schaltungen hat den Wert \(1,0\Omega\).

Berechne den Gesamtwiderstand der Schaltungen a), b) und c).

Tipp: Zeichne die Schaltungen etwas um, dann geht es leichter.

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a)Es handelt sich um eine Parallelschaltung des Widerstands \(R_1\) mit der Serienschaltung der Widerstände \(R_2\), \(R_3\) und \(R_4\) (Ersatzwiderstand \(R_{234}\)):\[{R_{234}} = {R_2} + {R_3} + {R_4} \Rightarrow {R_{234}} = 3,0\Omega \]Für den Gesamtwiderstand \(R_{\rm{ges}}\) der Parallelschaltung von \(R_1\) und dem Ersatzwiderstand \(R_{234}\)) gilt\[{R_{{\rm{ges}}}} = \frac{{{R_1} \cdot {R_{234}}}}{{{R_1} + {R_{234}}}} \Rightarrow {R_{{\rm{ges}}}} = \frac{{1,0\Omega  \cdot 3,0\Omega }}{{1,0\Omega  + 3,0\Omega }} = 0,75\Omega \]

 

b)Es handelt sich um eine Reihenschaltung von zwei Parallelschaltungen der Widerstände \(R_1\) und \(R_2\) (Ersatzwiderstand \(R_{12}\)) sowie \(R_3\) und \(R_4\) (Ersatzwiderstand \(R_{34}\)), dabei gilt\[ R_{12} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = \frac{\left(1\,\Omega\right)^2}{1\,\Omega+1\,\Omega} = 0,5\,\Omega \]\[ R_{34} = \frac{R_3 \cdot R_4}{R_3 + R_4} = 0,5\,\Omega \]Der Gesamtwiderstand folgt dann aus der Summe der beiden Ersatzwiderstände \( R_\text{ges} = R_{12} + R_{34} = 0,5\,\Omega + = 0,5\,\Omega = 1\,\Omega \)

 

c)Die Schaltung stellt nichts anderes dar als die Parallelschaltung der drei Widerstände:\[{\frac{1}{{{R_{{\rm{ges}}}}}}} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}} + \frac{1}{{{R_3}}} = \frac{{{R_2} \cdot {R_3}}}{{{R_1} \cdot {R_2} \cdot {R_3}}} + \frac{{{R_1} \cdot {R_3}}}{{{R_2} \cdot {R_1} \cdot {R_3}}} + \frac{{{R_1} \cdot {R_2}}}{{{R_3} \cdot {R_1} \cdot {R_2}}} \]\[ {R_{{\rm{ges}}} = \frac{{{R_1} \cdot {R_2} \cdot {R_3}}}{{{R_2} \cdot {R_3} + {R_1} \cdot {R_3} + {R_1} \cdot {R_2}}}}\]Setzt man die Zahlenwerte ein, so folgt\[{R_{{\rm{ges}}}} = \frac{{{{\left( {1,0\Omega } \right)}^3}}}{{{{\left( {1,0\Omega } \right)}^2} + {{\left( {1,0\Omega } \right)}^2} + {{\left( {1,0\Omega } \right)}^2}}} = \frac{1}{3}\Omega \]