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Aufgabe

Reihenschaltung

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

In der abgebildeten Schaltung sei \(\left| {{U_0}} \right| = 10{\rm{V}}\), \({R_1} = 20\Omega \) und \({R_2} = 30\Omega \).

Berechne die Spannungen über den beiden Widerständen sowie die Stromstärken der Ströme, die durch die beiden Widerstände fließen.

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Zu berechnen sind die 4 Unbekannten \({U_1}\), \({U_2}\), \({I_1}\) und \({I_2}\), wofür man 4 Gleichungen benötigt.

Betrachtet man die gesamte Schaltung als eine Masche, so erhält man nach der KIRCHHOFFschen Maschenregel
\[ - 10{\rm{V}} + {U_1} + {U_2} = 0 \quad(1)\]
Betrachtet man die Verbindung zwischen den beiden Widerständen als Knoten, so erhält nach der KIRCHHOFFschen Knotenregel
\[{I_1} - {I_2} = 0 \quad(2)\]
Nach dem OHMschen Gesetz ergibt sich weiter für den Widerstand \({R_1}\)
\[{U_1} = {R_1} \cdot {I_1} \quad(3)\]
und für den Widerstand \({R_2}\)
\[{U_2} = {R_2} \cdot {I_2} \quad(4)\]
Umformen und Sortieren der 4 Gleichungen liefert das Lineare Gleichungssystem
\[\begin{array}{*{20}{c}}{{U_1}}&{ + {U_2}}&{}&{}\\{}&{}&{{I_1}}&{ - {I_2}}\\{{U_1}}&{}&{ - 20\Omega  \cdot {I_1}}&{}\\{}&{{U_2}}&{}&{ - 30\Omega  \cdot {I_1}}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}} = \\ = \\ = \\ = \end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{10{\rm{V}}}\\0\\0\\0\end{array}\]
Dieses Lineare Gleichungssystem kann man nun entweder mit der Hand oder aber besser mit einem Computerprogramm oder dem GTR lösen. Dort gibt man die Matrix
\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&0&0\\0&0&1&{ - 1}\\1&0&{ - 20}&0\\0&1&0&{ - 30}\end{array}\;\;\;\begin{array}{*{20}{c}}{10}\\0\\0\\0\end{array}} \right]\]
ein und erhält nach dem Diagonalisieren
\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\;\;\;\begin{array}{*{20}{c}}4\\6\\{0,2}\\{0,2}\end{array}} \right]\]
was als Lösung der Aufgabe bedeutet \({U_1} = 4{\rm{V}}\), \({U_2} = 6{\rm{V}}\), \({I_1} = 0,2{\rm{A}}\) und \({I_2} = 0,2{\rm{A}}\).

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Komplexere Schaltkreise