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Aufgabe

Parallelschaltung

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

In der abgebildeten Schaltung sei \(\left| {{U_0}} \right| = 10{\rm{V}}\), \({R_1} = 20\Omega \) und \({R_2} = 40\Omega \).

Berechne die Spannungen über den beiden Widerständen, die Stromstärken der Ströme, die durch die beiden Widerstände fließen sowie die Gesamtstromstärke.

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Zu berechnen sind die 5 Unbekannten \({U_1}\), \({U_2}\), \(I\), \({I_1}\) und \({I_2}\), wofür man 5 Gleichungen benötigt.

Betrachtet man die Elektrische Quelle und den Zweig mit dem Widerstand \({R_1}\) als eine Masche, so erhält man nach der KIRCHHOFFschen Maschenregel
\[ - 10{\rm{V}} + {U_1} = 0 \quad(1)\]
Betrachtet man die Elektrische Quelle und den Zweig mit dem Widerstand \({R_2}\) als eine Masche, so erhält man nach der KIRCHHOFFschen Maschenregel
\[ - 10{\rm{V}} + {U_2} = 0 \quad(2)\]
Betrachtet man die Verzweigung zu den beiden Widerständen als Knoten, so erhält nach der KIRCHHOFFschen Knotenregel
\[I - {I_1} - {I_2} = 0 \quad(3)\]
Nach dem OHMschen Gesetz ergibt sich weiter für den Widerstand \({R_1}\)
\[{U_1} = {R_1} \cdot {I_1} \quad(4)\]
und für den Widerstand \({R_2}\)
\[{U_2} = {R_2} \cdot {I_2} \quad(5)\]
Umformen und Sortieren der 5 Gleichungen liefert das Lineare Gleichungssystem
\[\begin{array}{*{20}{c}}{{U_1}}&{}&{}&{}&{}& = &{10{\rm{V}}}\\{}&{{U_2}}&{}&{}&{}& = &{10{\rm{V}}}\\{}&{}&I&{ - {I_1}}&{ - {I_2}}& = &0\\{{U_1}}&{}&{}&{ - 20\Omega  \cdot {I_1}}&{}& = &0\\{}&{{U_2}}&{}&{}&{ - 40\Omega  \cdot {I_2}}& = &0\end{array}\]
Dieses Lineare Gleichungssystem kann man nun entweder mit der Hand oder aber besser mit einem Computerprogramm oder dem GTR lösen. Dort gibt man die Matrix
\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0&0&0& = &{10}\\0&1&0&0&0& = &{10}\\0&0&1&{ - 1}&{ - 1}& = &0\\1&0&0&{ - 20}&0& = &0\\0&1&0&0&{ - 40}& = &0\end{array}} \right]\]
ein und erhält nach dem Diagonalisieren
\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0&0&0& = &{10}\\0&1&0&0&0& = &{10}\\0&0&1&0&0& = &{0,75}\\0&0&0&1&0& = &{0,5}\\0&0&0&0&1& = &{0,25}\end{array}} \right]\]
was als Lösung der Aufgabe bedeutet \({U_1} = 10{\rm{V}}\), \({U_2} = 10{\rm{V}}\), \({I} = 0,75{\rm{A}}\), \({I_1} = 0,50{\rm{A}}\) und \({I_2} = 0,25{\rm{A}}\).

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Komplexere Schaltkreise