Komplexere Schaltkreise

Reihenschaltung:\[{R_{ges}} = {\rm{ }}{R_1} + {\rm{ }}{R_2} \Rightarrow {R_{ges}} = {\rm{ }}10\Omega {\rm{ }} + {\rm{ }}20\Omega {\rm{ }} = {\rm{ }}30\Omega \]Der Gesamtwiderstand ist größer als \(R_2\).

Parallelschaltung: \[\begin{array}{l}\quad \frac{1}{{{R_{ges||}}}} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}}\quad \Rightarrow \quad \frac{1}{{{R_{ges||}}}} = \frac{1}{{10\Omega }} + \frac{1}{{20\Omega }}\quad \Rightarrow \\\frac{1}{{{R_{ges||}}}} = \frac{2}{{20\Omega }} + \frac{1}{{20\Omega }}\quad \Rightarrow \quad \frac{1}{{{R_{ges||}}}} = \frac{3}{{20\Omega }}\quad \Rightarrow \quad {R_{ges||}} = \frac{{20}}{3}\Omega \approx 6,7\Omega \end{array}\]Der Gesamtwiderstand ist kleiner als \(R_1\).

\[\begin{array}{l}\frac{1}{{{R_{ges||}}}} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}}\quad \Rightarrow \quad \frac{1}{{{R_{ges||}}}} = \frac{{{R_2}}}{{{R_1} \cdot {R_2}}} + \frac{{{R_1}}}{{{R_1} \cdot {R_2}}}\quad \Rightarrow \\\quad \quad \frac{1}{{{R_{ges||}}}} = \frac{{{R_2} + {R_1}}}{{{R_1} \cdot {R_2}}}\quad \Rightarrow \quad {R_{ges||}} = \frac{{{R_2} \cdot {R_1}}}{{{R_2} + {R_1}}}\end{array}\]

Man kann von der gegenteiligen Behauptung ausgehen und dann auf einen Widerspruch stoßen: Wir nehmen an, dass \(R_1\) der kleinere der beiden gegebenen Widerstände ist (dies ist keine Einschränkung der Allgemeinheit). Nun gehen wir vom Gegenteil der Behauptung aus, wir nehmen also an, dass der Gesamtwiderstand größer sei als der kleinere Einzelwiderstand:\[\begin{array}{l}\frac{{{R_1} \cdot {R_2}}}{{{R_1} + {R_2}}} > {R_1}\;|\, \cdot \left( {{R_1} + {R_2}} \right)\quad \Rightarrow \quad {R_1} \cdot {R_2} > {R_1} \cdot \left( {{R_1} + {R_2}} \right)\\ \Rightarrow \quad {R_1} \cdot {R_2} > R_1^2 + {R_1} \cdot {R_2}\quad \Rightarrow \quad 0 > R_1^2\end{array}\]Bei dieser Vorgehensweise stoßen wir nun auf einen Widerspruch, denn das Quadrat des Widerstandswertes von \(R_1\) kann nie kleiner Null, also negativ sein. Hieraus ziehen wir den Schluss, dass unsere Annahme (Gesamtwiderstand > kleinerer Einzelwiderstand) falsch war. Man nennt diese Vorgehensweise in der Mathematik einen indirekten Beweis.