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Aufgabe

Gesamtwiderstand bei Reihen- und Parallelschaltung

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Gegeben sind zwei Widerstände mit \(R_1=10\,\Omega\) und \(R_2 = 20\,\Omega\).

a)Bestätige an diesem Beispiel, die folgenden Merkregeln:

•  Der Wert des Gesamtwiderstands einer Reihenschaltung ist stets größer als der Wert des höchsten Einzelwiderstands.

•  Der Wert des Gesamtwiderstands einer Parallelschaltung ist stets kleiner als der Wert des niedrigsten Einzelwiderstands.

b)Zeige durch algebraische Umformung, dass man für den Gesamtwiderstand bei der Parallelschaltung zweier Widerstände \(R_1\) und \(R_2\) auch schreiben kann\[{R_{ges||}} = \frac{{{R_1} \cdot {R_2}}}{{{R_1} + {R_2}}}\]

c)Nur für mathematisch versierte Experten: Weise den Merksatz für die Parallelschaltung von Widerständen "Der Wert des Gesamtwiderstands einer Parallelschaltung ist stets kleiner als der Wert des niedrigsten Einzelwiderstands" allgemein nach.

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a)Reihenschaltung:\[{R_{ges}} = {\rm{ }}{R_1} + {\rm{ }}{R_2} \Rightarrow {R_{ges}} = {\rm{ }}10\Omega {\rm{ }} + {\rm{ }}20\Omega {\rm{ }} = {\rm{ }}30\Omega \]Der Gesamtwiderstand ist größer als R2.

Parallelschaltung: \[\begin{array}{l}\quad \frac{1}{{{R_{ges||}}}} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}}\quad \Rightarrow \quad \frac{1}{{{R_{ges||}}}} = \frac{1}{{10\Omega }} + \frac{1}{{20\Omega }}\quad \Rightarrow \\\frac{1}{{{R_{ges||}}}} = \frac{2}{{20\Omega }} + \frac{1}{{20\Omega }}\quad \Rightarrow \quad \frac{1}{{{R_{ges||}}}} = \frac{3}{{20\Omega }}\quad \Rightarrow \quad {R_{ges||}} = \frac{{20}}{3}\Omega \approx 6,7\Omega \end{array}\]Der Gesamtwiderstand ist kleiner als R1.

b)\[\begin{array}{l}\frac{1}{{{R_{ges||}}}} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}}\quad \Rightarrow \quad \frac{1}{{{R_{ges||}}}} = \frac{{{R_2}}}{{{R_1} \cdot {R_2}}} + \frac{{{R_1}}}{{{R_1} \cdot {R_2}}}\quad \Rightarrow \\\quad \quad \frac{1}{{{R_{ges||}}}} = \frac{{{R_2} + {R_1}}}{{{R_1} \cdot {R_2}}}\quad \Rightarrow \quad {R_{ges||}} = \frac{{{R_2} \cdot {R_1}}}{{{R_2} + {R_1}}}\end{array}\]

c)Man kann von der gegenteiligen Behauptung ausgehen und dann auf einen Widerspruch stoßen: Wir nehmen an, dass R1 der kleinere der beiden gegebenen Widerstände ist (dies ist keine Einschränkung der Allgemeinheit). Nun gehen wir vom Gegenteil der Behauptung aus, wir nehmen also an, dass der Gesamtwiderstand größer sei als der kleinere Einzelwiderstand:\[\begin{array}{l}\frac{{{R_1} \cdot {R_2}}}{{{R_1} + {R_2}}} > {R_1}\;|\, \cdot \left( {{R_1} + {R_2}} \right)\quad \Rightarrow \quad {R_1} \cdot {R_2} > {R_1} \cdot \left( {{R_1} + {R_2}} \right)\\ \Rightarrow \quad {R_1} \cdot {R_2} > R_1^2 + {R_1} \cdot {R_2}\quad \Rightarrow \quad 0 > R_1^2\end{array}\]Bei dieser Vorgehensweise stoßen wir nun auf einen Widerspruch, denn das Quadrat des Widerstandswertes von R1 kann nie kleiner Null, also negativ sein. Hieraus ziehen wir den Schluss, dass unsere Annahme (Gesamtwiderstand > kleinerer Einzelwiderstand) falsch war. Man nennt diese Vorgehensweise in der Mathematik einen indirekten Beweis.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Komplexere Schaltkreise