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Aufgabe

Elektrische Kochplatte

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Hinweis: Die Idee zu dieser Aufgabe stammt von Herrn Huhn, der sie im Rahmen des Sinus-Projekts entwickelte.

In einer Kochplatte sind vier Heizspiralen wie abgebildet miteinander verbunden. Über den Schalter kann jeder der Kontakte a, b, c, d mit einem Pol der Netzspannung (\(230V\)) verbunden werden. Die Widerstände der einzelnen Heizspiralen betragen: \[R_1=97\mathrm{\Omega}, R_2=64\mathrm{\Omega}, R_3=102\mathrm{\Omega}, R_4=91\mathrm{\Omega}\]

Mit den 4 Spiralen kann man so die 6 verschiedenen Heizstufen ½ , 1, 1½ , 2 , 2½  und 3 einstellen. Tatsächlich gibt es sogar noch mehr als diese 6 Möglichkeiten.

a)Berechne, welcher Ersatzwiderstand sich ergibt, wenn die Netzspannung an den Kontakten a und c anliegt und wie groß ist dann die Stromstärke ist.

b)Berechne, welcher Ersatzwiderstand und welche Stromstärke sich ergeben, wenn die Kontakte c und d an einem Pol der Netzspannung anliegen und Kontakt b an dem anderen.

c)Ordne die folgenden Schaltungen nun den verschiedenen Schaltstufen zu:

•  Kontakt b ist mit dem einen und Kontakt d mit dem anderen Pol der Netzspannung verbunden.

•  Kontakt a und b sind mit dem einen und Kontakt c und d mit dem anderen Pol der Netzspannung verbunden.

•  Kontakt b ist mit dem einen und Kontakt c mit dem anderen Pol der Netzspannung verbunden.

•  Kontakt c ist mit dem einen und Kontakt d mit dem andern Pol der Netzspannung verbunden.

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a)Bei dieser Schaltung handelt es sich um die Reihenschaltung der vier Widerstände. Somit gilt
\[{{R_{\rm{a,c}}} = {R_1} + {R_2} + {R_3} + {R_4}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{{R_{\rm{a,c}}} = 97\Omega  + 64\Omega  + 102\Omega  + 91\Omega  = 354\Omega }\]
Damit ergibt sich für die Stromstärke
\[I = \frac{U}{{{R_{\rm{a,c}}}}} \Rightarrow I = \frac{{230{\rm{V}}}}{{354\Omega }} = 0,65{\rm{A}}\]

 

b)Bei dieser Schaltung handelt es sich um die Parallelschaltung des Widerstandes \({R_2}\) mit der Reihenschaltung der Widerstände \({R_3}\) und \({R_4}\). Somit gilt
\[{\frac{1}{{{R_{\rm{b,cd}}}}} = \frac{1}{{{R_2}}} + \frac{1}{{{R_3} + {R_4}}}}\]
Auflösen nach \({{R_{\rm{b,cd}}}}\) führt auf
\[{{R_{\rm{b,cd}}} = \frac{{{R_2} \cdot \left( {{R_3} + {R_4}} \right)}}{{{R_2} + {R_3} + {R_4}}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{{R_{\rm{b,cd}}} = \frac{{64\Omega  \cdot \left( {102\Omega  + 91\Omega } \right)}}{{64\Omega  + 102\Omega  + 91\Omega }} = 48\Omega }\]
Damit ergibt sich für die Stromstärke
\[I = \frac{U}{{{R_{\rm{b,cd}}}}} \Rightarrow I = \frac{{230{\rm{V}}}}{{48\Omega }} = 4,8{\rm{A}}\]

 

c)\[{R_{\rm{b,d}}} = R_2 = 64\Omega \]

 

Bei dieser Schaltung handelt es sich um die Parallelschaltung der Widerstände \({R_1}\), \({R_2}\) und der Reihenschaltung der Widerstände \({R_3}\) und \({R_4}\). Somit gilt
\[{\frac{1}{{{R_{{\rm{ab,cd}}}}}} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}} + \frac{1}{{{R_3} + {R_4}}}}\]
Auflösen nach \({{R_{\rm{ab,cd}}}}\) führt auf
\[{{R_{{\rm{ab,cd}}}} = \frac{{{R_1} \cdot {R_2} \cdot \left( {{R_3} + {R_4}} \right)}}{{{R_2} \cdot \left( {{R_3} + {R_4}} \right) + {R_1} \cdot \left( {{R_3} + {R_4}} \right) + {R_1} \cdot {R_2}}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{{R_{{\rm{ab,cd}}}} = 32\Omega }\]

 

Bei dieser Schaltung handelt es sich um die Reihenschaltung der Widerstände \({R_3}\) und \({R_4}\). Somit gilt
\[{{R_{\rm{b,c}}} = {R_3} + {R_4}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{{R_{\rm{b,c}}} = 102\Omega  + 91\Omega  = 193\Omega }\]

 

Bei dieser Schaltung handelt es sich um die Reihenschaltung der Widerstände \(R_2\), \({R_3}\) und \({R_4}\). Somit gilt
\[{{R_{\rm{c,d}}} = {R_2} + {R_3} + {R_4}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{{R_{\rm{c,d}}} = 64\Omega  + 102\Omega  + 91\Omega  = 257\Omega }\]

 

Aus den insgesamt sechs berechneten Widerständen ergibt sich damit folgende Zuordnung zu den Schaltstufen:

Schaltstufe ½ 1 2 3
Widerstandsbezeichnung \({{R_{\rm{a,c}}} = 354\Omega }\) \({{R_{\rm{c,d}}} = 257\Omega }\) \({{R_{\rm{b,c}}} = 193\Omega }\) \({R_{\rm{b,d}}} = 64\Omega \) \({{R_{\rm{b,cd}}} = 48\Omega }\) \({{R_{{\rm{ab,cd}}}} = 32\Omega }\)
Aufgabe a) c) iv) c) iii) c) i) b) c) ii)