Hinweis: Diese Aufgabe wurde im Rahmen des bundesweiten Wettbewerbs Physik 1977 - 2. Runde - 2. Aufgabe gestellt. Wenn Du dich mit den neuen Aufgaben des Wettbewerbs auseinandersetzen willst, so gehe zur MNU-Seite (Wettbewerb Physik).
Ein Lampendieb nimmt von den fünf gleichen Lämpchen in der dargestellten Schaltung eines mit.
a)
Gib an, was geschieht, wenn er ein beliebiges Lämpchen herausschraubt.
b)
Um seine Tat möglichst zu verschleiern, möchte er sicher gehen, dass der Stromkreis nicht unterbrochen wird. Deshalb überbrückt er die leere Lampenfassung mit einem kurzen Stück Draht.
Erläutere, ob diese Entscheidung klug war.
c)
Untersuche, welches Lämpchen er entfernen sollte, um die Helligkeit möglichst wenig zu beeinträchtigen.
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Abb. 2
Benenne die einzelnen Lampen (vgl. Skizze) und versuche, ein besser durchschaubares Ersatzschaltbild zu entwickeln. Gehe dann wieder zur Aufgabe.
Alle Lämpchen haben den gleichen OHMschen Widerstand \(R = \frac{{6,0\rm{V}}}{{0,30\rm{A}}} = 20\Omega \).
Ein Lämpchen wird entfernt
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Abb. 4 Ein Lämpchen wird entfernt
Sowohl an der Serienschaltung von \({R_4}\) und \({R_3}\) als auch an der Serienschaltung von \({R_1}\) und \({R_5}\) liegt die Spannung \(12\rm{V}\) an. Da die Widerstände alle den gleichen Wert besitzen, liegt an den Widerständen \({R_1}\), \({R_5}\), \({R_4}\) und \({R_3}\) jeweils die Spannung \(6,0\rm{V}\) an. Alle vier Lämpchen leuchten gleich hell ("Nennhelligkeit").
Dies bedeutet aber, dass zwischen den Punkten C und D keine Spannung anliegt (man sagt auch die Punkte C und D liegen auf gleichem Potential). Am Widerstand \({R_2}\)liegt somit keine Spannung, das Lämpchen leuchtet nicht.
1.Fall: Der Dieb entfernt das Lämpchen L2
Dies hat auf die Helligkeit der verbleibenden Lämpchen keinerlei Einfluss, sie leuchten weiterhin mit der Nennhelligkeit.
2. Fall: Der Dieb entfernt eines der Lämpchen L1, L5, L4 oder L3
In der folgenden Skizze wird davon ausgegangen, dass Lämpchen L4 herausgeschraubt wird. In diesem Fall kann obige Schaltung durch die rechts dargestellte Schaltung ersetzt werden (beim Herausschrauben eines anderen der vier obigen Lämpchen gelten analoge Überlegungen).
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Abb. 5
Für den Gesamtwiderstand der abgebildeten Schaltung gilt
\[{R_{{\rm{ges}}}} = {R_1} + \frac{{{R_5} \cdot \left( {{R_2} + {R_3}} \right)}}{{{R_2} + {R_3} + {R_5}}} \Rightarrow {R_{{\rm{ges}}}} = 20\Omega + \frac{{20\Omega \cdot 40\Omega }}{{60\Omega }} = 33\Omega \]
Für den Gesamtstrom, der durch den Widerstand R1 fließt, gilt
\[{I_1} = {I_{{\rm{ges}}}} = \frac{{{U_0}}}{{{R_{{\rm{ges}}}}}} \Rightarrow {I_1} = \frac{{12{\rm{V}}}}{{33\Omega }} = 0,36{\rm{A}}\]
Durch Berechnung der Teilspannungen, die an den Widerständen liegen, können Aussagen über die jeweiligen Lampenhelligkeiten gemacht werden:
\[{U_1} = {I_1} \cdot {R_1} \Rightarrow {U_1} = 0,36{\rm{A}} \cdot 30\;\Omega = 7,2{\rm{V}}\]
d.h. die Helligkeit von L1 liegt über der "Nennhelligkeit".
Für die Spannung \({U_{{\rm{EB}}}}\) gilt \({U_{{\rm{EB}}}} = 12{\rm{V}} - 7,2{\rm{V}} = 4,8{\rm{V}}\). Somit leuchtet L5 schwächer als bei der Nennspannung. An den Lämpchen L2 und L3 liegt jeweils die Spannung \(\frac{{4,8{\rm{V}}}}{2} = 2,4{\rm{V}}\) an. Also wird an diesen Lämpchen kein Leuchten mehr zu sehen sein.
Ein Lämpchen wird herausgenommen und durch einen Draht überbrückt
1. Fall: Der Dieb entfernt das Lämpchen L2 und überbrückt die Lücke durch einen Draht
Dies ändert an der Helligkeit der verbleibenden Lämpchen nichts. Es leuchten die verbleibenden Lämpchen mit der "Nennhelligkeit".
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Abb. 6
2. Fall: Der Dieb entfernt eines der Lämpchen L1, L5, L4 oder L3 und baut am entfernten Lämpchen eine Drahtbrücke ein
In diesem Fall ergibt sich das hier skizzierte Ersatzschaltbild (es werde davon ausgegangen, dass L4 überbrückt wird). Am Lämpchen L3 liegt die Spannung von \(12\rm{V}\) an. Dieses Lämpchen wird wohl durchbrennen.
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Abb. 7
Die Parallelschaltung von \({R_1}\) und \({R_2}\) hat einen Ersatzwiderstand von \(10\Omega \) und liegt in Serie zum Widerstand \({R_5}\) mit \(20\Omega \). Also teilt sich die Spannung von \(12\rm{V}\) im Verhältnis \(10:20 = 1:2\) auf. Somit liegt an \({R_4}\) die Spannung von \(8\rm{V}\) und an \({R_1}\) bzw. \({R_2}\) jeweils die Spannung von \(4\rm{V}\). Das Lämpchen L5 wird somit eine höhere Helligkeit als die "Nennhelligkeit" zeigen. Die Lämpchen L1 und L2 werden eine geringere Helligkeit als die "Nennhelligkeit" haben.
Welches Lämpchen sollte entfernt werden?
Wenn der Lampendieb Lämpchen L2 stiehlt, fällt dies am wenigsten auf, da die restlichen Lämpchen mit gleicher Helligkeit weiter leuchten. Eine Drahtüberbrückung ist in diesem Fall auch nicht notwendig.
