Warum wird elektrische Energie eigentlich mit Hochspannung übertragen? Nach den Rechnungen in dieser Aufgabe solltest du diese Frage beantworten können.
Ein Einödhof ist ca. \(10\,{\rm{km}}\) von einem Elektrizitätswerk entfernt und muss mit elektrischer Energie versorgt werden. Die Hin- und Rückleitung vom Elektrizitätswerk zum Hof hat zusammen einen Widerstand von \(R_{\rm{L}}=15\,{\rm{\Omega }}\).
Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Übertragung elektrischer Energie mit Niederspannung und kleiner Last
a)Angeschlossen ist zuerst nur eine handelsübliche Glühlampe mit \(100\,\rm{W}\) Leistung bei einer Spannung von \(230\,\rm{V}\).
Berechne die Stromstärke \(I_{\rm{L}}\) in Hin- und Rückleitung.
Berechne die Leistung \(P_{\rm{L}}\), die in Hin- und Rückleitung in Wärme umgesetzt wird.
Gib die Gesamtleistung \(P_{\rm{ges}}\) an, die vom Elektrizitätswerk zum Betrieb der Glühlampe erbracht werden muss.
Berechne den Wirkungsgrad \(\eta\), also das Verhältnis von Nutzleistung zu Gesamtleistung.
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Abb. 2 Übertragung elektrischer Energie mit Niederspannung und mittlerer Last
b)Angeschlossen sind nun zehn \(230\,\rm{V}\)/\(100\,\rm{W}\)-Glühlampen.
Berechne die Stromstärke \(I_{\rm{L}}\) in Hin- und Rückleitung.
Berechne die Leistung \(P_{\rm{L}}\), die in Hin- und Rückleitung in Wärme umgesetzt wird.
Gib die Gesamtleistung \(P_{\rm{ges}}\) an, die vom Elektrizitätswerk zum Betrieb der Glühlampen erbracht werden muss.
Berechne den Wirkungsgrad \(\eta\), also das Verhältnis von Nutzleistung zu Gesamtleistung.
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Abb. 3 Übertragung elektrischer Energie mit Niederspannung und hoher Last
c)Angeschlossen sind nun zehn \(230\,\rm{V}\)/\(100\,\rm{W}\)-Glühlampen und ein Motor mit einer Leistung von \(9\,000\,\rm{W}\) bei einer Spannung von \(230\,\rm{V}\).
Berechne die Stromstärke \(I_{\rm{L}}\) in Hin- und Rückleitung.
Berechne die Leistung \(P_{\rm{L}}\), die in Hin- und Rückleitung in Wärme umgesetzt wird.
Gib die Gesamtleistung \(P_{\rm{ges}}\) an, die vom Elektrizitätswerk zum Betrieb der Glühlampen und des Motors erbracht werden muss.
Berechne den Wirkungsgrad \(\eta\), also das Verhältnis von Nutzleistung zu Gesamtleistung.
d)Die elektrische Energie wird mit einer Spannung von \(23 000\,\rm{V}\) übertragen, angeschlossen sind zehn \(100\,\rm{W}\)-Glühlampen und ein Motor mit einer Leistung von \(9 000\rm{W}\).
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Abb. 4 Übertragung elektrischer Energie mit Hochspannung und großer Last
Berechne die Stromstärke \(I_{\rm{L}}\) in Hin- und Rückleitung.
Berechne die Leistung \(P_{\rm{L}}\), die in Hin- und Rückleitung in Wärme umgesetzt wird.
Gib die Gesamtleistung \(P_{\rm{ges}}\) an, die vom Elektrizitätswerk zum Betrieb der Glühlampen und des Motors erbracht werden muss.
Berechne den Wirkungsgrad \(\eta\), also das Verhältnis von Nutzleistung zu Gesamtleistung.
a)Es sei \(U=230\,\rm{V}\) die Spannung, die an der Glühlampe anliegen soll und \(P_{\rm{V}}=100\,\rm{W}\) die Leistung, die zum Betrieb der Glühlampe benötigt wird. Die zur Übertragung dieser Leistung \(P_{\rm{V}}\) benötigte Stromstärke \(I_{\rm{L}}\) in der Leitung ergibt sich aus\[{P_{\rm{V}}} = {I_{\rm{L}}} \cdot U \Leftrightarrow {I_{\rm{L}}} = \frac{{{P_{\rm{V}}}}}{U} \Rightarrow {I_{\rm{L}}} = \frac{{100\,{\rm{W}}}}{{230\,{\rm{V}}}} = 0{,}435\,{\rm{A}}\]Betrachtet man Hin- und Rückleitung als OHMschen Leiter, so ergibt sich nach dem OHMschen Gesetz\[{P_{\rm{L}}} = {I_{\rm{L}}} \cdot U_{\rm{L}} = {I_{\rm{L}}} \cdot {I_{\rm{L}}} \cdot R = I_{\rm{L}}^2 \cdot R \Rightarrow {P_{\rm{L}}} = {\left( {0{,}435\,{\rm{A}}} \right)^2} \cdot 15\,\Omega = 2{,}8\,{\rm{W}}\]Somit ist die Gesamtleistung, die das E-Werk aufbringen muss\[{P_{{\rm{ges}}}} = {P_{\rm{V}}} + {P_{\rm{L}}} \Rightarrow {P_{{\rm{ges}}}} = 100\,{\rm{W}} + 2{,}8\,{\rm{W}} = 102{,}8\,{\rm{W}}\]Der Wirkungsgrad ist das Verhältnis von auf dem Hof genutzter Leistung und der Leistung, die das Elektrizitätswerk dafür aufbringen muss, also\[\eta = \frac{{{P_{\rm{V}}}}}{{{P_{{\rm{ges}}}}}} \Rightarrow \eta = \frac{{100\,{\rm{W}}}}{{102{,}8\,{\rm{W}}}} = 97\% \]Hinweis: Zum ordnungsgemäßen Betrieb der Glühlampe müsste das E-Werk eine höhere Spannung als \(230\,\rm{V}\) an die Zuleitung anlegen.
b)Da nun zehn Glühbirnen angeschlossen sind beträgt die zu übertragende Leistung \(P_{\rm{V}}=10 \cdot 100\,{\rm{W}} = 1000\,{\rm{W}}\) Auch hier ergibt sich die zur Übertragung der Leistung \(P_{\rm{V}}\) nötige Stromstärke \(I_{\rm{L}}\) in der Leitung aus\[{P_{\rm{V}}} = {I_{\rm{L}}} \cdot U \Leftrightarrow {I_{\rm{L}}} = \frac{{{P_{\rm{V}}}}}{U} \Rightarrow {I_{\rm{L}}} = \frac{{1000\,{\rm{W}}}}{{230\,{\rm{V}}}} = 4{,}35\,{\rm{A}}\]Betrachtet man Hin- und Rückleitung als OHMschen Leiter, so ergibt sich nach dem OHMschen Gesetz\[{P_{\rm{L}}} = {I_{\rm{L}}} \cdot U_{\rm{L}} = {I_{\rm{L}}} \cdot {I_{\rm{L}}} \cdot R = I_{\rm{L}}^2 \cdot R \Rightarrow {P_{\rm{L}}} = {\left( {4{,}35\,{\rm{A}}} \right)^2} \cdot 15\,\Omega = 282\,{\rm{W}}\]Somit ist die Gesamtleistung\[{P_{{\rm{ges}}}} = {P_{\rm{V}}} + {P_{\rm{L}}} \Rightarrow {P_{{\rm{ges}}}} = 1000\,{\rm{W}} + 282\,{\rm{W}} = 1282\,{\rm{W}}\]und damit der Wirkungsgrad\[\eta = \frac{{{P_{\rm{V}}}}}{{{P_{{\rm{ges}}}}}} \Rightarrow \eta = \frac{{1000\,{\rm{W}}}}{{1282\,{\rm{W}}}} = 78\% \]Hinweis: Zum ordnungsgemäßen Betrieb der Glühlampe müsste das E-Werk eine noch höhere Spannung als \(230\,\rm{V}\) an die Zuleitung anlegen.
c)Die zu übertragende Leistung berechnet sich hier aus den zehn Glühbirnen und dem Motor zu \(P_{\rm{V}}=10 \cdot 100\,{\rm{W}} + 9000\,{\rm{W}} = 10000\,{\rm{W}}\). Die benötigte Stromstärke errechnet sich erneut nach \[{P_{\rm{V}}} = {I_{\rm{L}}} \cdot U \Leftrightarrow {I_{\rm{L}}} = \frac{{{P_{\rm{V}}}}}{U} \Rightarrow {I_{\rm{L}}} = \frac{{10000\,{\rm{W}}}}{{230\,{\rm{V}}}} = 43{,}5\,{\rm{A}}\]Betrachtet man Hin- und Rückleitung als OHMschen Leiter, so ergibt sich nach dem OHMschen Gesetz\[{P_{\rm{L}}} = {I_{\rm{L}}} \cdot U_{\rm{L}} = {I_{\rm{L}}} \cdot {I_{\rm{L}}} \cdot R = I_{\rm{L}}^2 \cdot R \Rightarrow {P_{\rm{L}}} = {\left( {43{,}5\,{\rm{A}}} \right)^2} \cdot 15\,\Omega = 28 200\,{\rm{W}}\]Somit ist die Gesamtleistung\[{P_{{\rm{ges}}}} = {P_{\rm{V}}} + {P_{\rm{L}}} \Rightarrow {P_{{\rm{ges}}}} = 10000\,{\rm{W}} + 28200\,{\rm{W}} = 38200\,{\rm{W}}\]und damit der Wirkungsgrad\[\eta = \frac{{{P_{\rm{V}}}}}{{{P_{{\rm{ges}}}}}} \Rightarrow \eta = \frac{{10000\,{\rm{W}}}}{{38200\,{\rm{W}}}} = 26\% \]Hinweis: Zum ordnungsgemäßen Betrieb der Glühlampe müsste das E-Werk eine noch wesentlich höhere Spannung als \(230\,\rm{V}\) an die Zuleitung anlegen.
d)Es sein nun \(U=23000\,\rm{V}\) die Spannung, die an der Hochspannungsleitung anliegt und \(P_{\rm{V}}=10000\,\rm{W}\) die Leistung, die zum Betrieb der gesamten Anlage benötigt wird. Die zur Übertragung dieser Leistung \(P_{\rm{V}}\) benötigte Stromstärke \(I_{\rm{L}}\) in der Hochspannungsleitung ergibt sich aus\[{P_{\rm{V}}} = {I_{\rm{L}}} \cdot U \Leftrightarrow {I_{\rm{L}}} = \frac{{{P_{\rm{V}}}}}{U} \Rightarrow {I_{\rm{L}}} = \frac{{10000\,{\rm{W}}}}{{23000\,{\rm{V}}}} = 0{,}43478\,{\rm{A}}\]Betrachtet man Hin- und Rückleitung als OHMschen Leiter, so ergibt sich nach dem OHMschen Gesetz\[{P_{\rm{L}}} = {I_{\rm{L}}} \cdot U_{\rm{L}} = {I_{\rm{L}}} \cdot {I_{\rm{L}}} \cdot R = I_{\rm{L}}^2 \cdot R \Rightarrow {P_{\rm{L}}} = {\left( {0{,}43478\,{\rm{A}}} \right)^2} \cdot 15\,\Omega = 2{,}8355\,{\rm{W}}\]Somit ist die Gesamtleistung\[{P_{{\rm{ges}}}} = {P_{\rm{V}}} + {P_{\rm{L}}} \Rightarrow {P_{{\rm{ges}}}} = 10000\,{\rm{W}} + 2{,}8355\,{\rm{W}} = 10003\,{\rm{W}}\]und damit der Wirkungsgrad\[\eta = \frac{{{P_{\rm{V}}}}}{{{P_{{\rm{ges}}}}}} \Rightarrow \eta = \frac{{10000\,{\rm{W}}}}{{10003\,{\rm{W}}}} = 99{,}97\% \]
