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Grundwissen

Herleitung der Wellenfunktion

Die mathematische Beschreibung einer Welle wird nicht in allen Bundesländern verlangt. Im Folgenden wird die Funktion, die die Ausbreitung einer Welle beschreibt (wir nennen sie Wellenfunktion) an einem mechanischen Beispiel erarbeitet und schließlich noch ein Ausblick auf elektromagnetische Wellen gegeben.

Zur Erarbeitung der Wellenfunktion einer ungedämpften, mechanischen Querwelle (Transversalwelle) betrachtet man einen Wellenträger, der auf der \(x\)-Achse liegt. Einzelne, gleichabständige Punkte des Trägers sind im rechten Bild skizziert. Zwischen diesen Punkten besteht eine Kopplung. Der im Punkt A liegende Körper werde "sinusförmig" in \(y\)-Richtung ausgelenkt. Ziel ist es die Auslenkung eines von der Welle erfassten Teilchens in \(y\)-Richtung an einem beliebigen Ort \(x\) und zu einer beliebigen Zeit \(t\) mathematisch zu beschreiben. Die entsprechende Funktion ist di von uns gesuchte Wellenfunktion.

Im obersten Bild beginnt der Körper A gerade in positive \(y\)-Richtung zu schwingen, die anderen Körper sind noch in Ruhe.

Im Bild darunter hat Körper A schon eine gewisse Auslenkung, der zweite Körper wird gerade von der Störung erfasst und beginnt gerade in positive y-Richtung zu schwingen usw.

Die Funktion, die die Schwingung des Körpers A beschreibt, lautet (\(f\) ist die dessen Schwingungsfrequenz):
\[{y_\rm{A}}(t) = \hat y \cdot \sin (\omega \cdot t)\;{\rm{mit}}\;\omega = 2\pi \cdot f\]
Aufgrund der Kopplung der Teilchen wandert die Störung mit der Geschwindigkeit \(c\) entlang der positiven \(x\)-Richtung.

Für die Zeit \(\Delta t\), die verstreicht, bis der Punkt P in der Entfernung \(x_\rm{P}\) erfasst von der Störung erfasst wird gilt
\[\Delta t = \frac{{{x_\rm{p}}}}{c}\quad(1)\]
Der Körper P schwingt also um die Zeit \(\Delta t\) verspätet an. Somit gilt für die Funktion, die dessen Schwingung beschreibt
\[{y_\rm{P}}(t) = \hat y \cdot \sin (\omega  \cdot (t - \Delta t))\quad(2)\]
Setzt man \((1)\) in \((2)\) ein, so folgt:
\[{y_\rm{P}}(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot \left( {t - \frac{{{x_p}}}{c}} \right)} \right)\]
Wählt man an Stelle von P einen beliebigen Punkt mit der Entfernung \(x\) vom Ursprung aus, so gilt
\[y(x;t) = \hat y \cdot \sin \left( {\frac{{2\pi }}{T} \cdot \left( {t - \frac{x}{c}} \right)} \right)\]
Die Auslenkung \(y\) hängt dann von den beiden Variablen \(x\) und \(t\) ab. Diese Funktion ist die von uns gesuchte Wellenfunktion.
\[y(x;t) = \hat y \cdot \sin \left( {2\pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{{c \cdot T}}} \right)} \right)\]

Unter Verwendung der Beziehung
\[c = \lambda  \cdot f \Leftrightarrow c = \lambda  \cdot \frac{1}{T} \Leftrightarrow c \cdot T = \lambda \]
lässt sich die Wellenfunktion in der noch etwas "griffigeren" Form schreiben
\[y(x;t) = \hat y \cdot \sin \left( {2\pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)\]
Für eine in die negative \(x\)-Richtung laufende Welle gilt:
\[y(x;t) = \hat y \cdot \sin \left( {2\pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)\]

Die Wellenfunktion als Funktion zweier Variablen ist für Sie wohl etwas ungewohnt. Sie enthält aber in sehr kompakter Form alle Informationen über die Welle.

Was sagt die Wellenfunktion über einen Punkt an einem festen Ort \(x_1\) aus? ("vertikale" Betrachtung)

\[y({x_1},t) = \hat y \cdot \sin \left( {2\pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{{{x_1}}}{\lambda }} \right)} \right)\]
Die Auslenkung hängt nur noch von \(t\) ab. \(y({x_1},t)\) zeigt, dass der Punkt am Ort \(x_1\) eine Sinusschwingung ausführt (Sinuslinie im \(t\)-\(y\)-Diagramm).

Was sagt die Wellenfunktion für ein festes \(t_1\) aus? ("horizontale" Betrachtung)

\[y(x,{t_1}) = \hat y \cdot \sin \left( {2\pi  \cdot \left( {\frac{{{t_1}}}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)\]
Die Auslenkung hängt nur noch von \(x\) ab.\(y(x,{t_1})\) zeigt, dass eine Momentaufnahme der Welle eine Sinuslinie ergibt (Sinuslinie im \(x\)-\(y\)-Diagramm).

Ausblick auf die Funktionen, die eine sinusförmige elektromagnetische Welle in der Fernzone beschreiben:

Funktion für die elektrische Feldstärke:
\[E(x,t) = \hat E \cdot \sin \left( {2 \cdot \pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)\]
Funktion für die magnetische Flussdichte:
\[B(x,t) = \hat B \cdot \sin \left( {2 \cdot \pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)\]

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle ist gleich der Lichtgeschwindigkeit \(c\).

Aus der Differentialgleichung für die Welle (die hier nicht dargestellt ist) kann man entnehmen, dass der folgende Zusammenhang zwischen der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit \(c\) der elektrischen Feldkonstanten \(\varepsilon_0\) und der magnetischen Feldkonstanten \(\mu_0\) besteht:
\[c = \frac{1}{{\sqrt {{\varepsilon _0} \cdot {\mu _0}} }} \Rightarrow c = \frac{1}{{\sqrt {8{,}854 \cdot 1{0^{ - 12}} \cdot 1{,}257  \cdot 10^{-6}} }}\frac{1}{{\sqrt {{\rm{{A \cdot s} \over {V \cdot m}}} \cdot {\rm{{V \cdot s} \over {A \cdot m}}}} }} = 2{,}998 \cdot {10^8}\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\]