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Aufgabe

UKW-Sender (Abitur BY 2001 GK A2-1)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Ein UKW-Sender wird mit einem Schwingkreis betrieben, dessen Drehkondensator im Bereich 4,0pF bis 6,0pF eingestellt werden kann und dessen Induktivität L = 0,55µH beträgt. Die Abstrahlung der elektromagnetischen Wellen erfolgt über eine Stabantenne, die senkrecht zur Erdoberfläche steht.

a)Berechnen Sie den Frequenz- und Wellenlängenbereich, in dem die Antenne sendet. (6 BE)

b)Die Stabantenne hat eine Länge von 1,55m.

Bei welcher Frequenz f0 ist die Energieübertragung vom Sendeschwingkreis auf die Antenne optimal? [zur Kontrolle: f0 = 97MHz]

Auf welchen Wert muss die Kapazität des Kondensators dafür eingestellt werden? (5 BE)

Der den Sender speisende Schwingkreis wird nun auf die Frequenz f0 = 97MHz fest eingestellt. Parallel zur vorhandenen Stabantenne wird im Abstand b = λ0 eine zweite Sendeantenne mit gleicher Länge aufgestellt (siehe Abbildung; die Stabantennen stehen senkrecht auf der Erde). Beide Sender schwingen mit gleicher Phase und Amplitude.

c)Erläutern Sie, warum die Anordnung beider Sender eine Richtwirkung besitzt. (3 BE)

d)Bestimmen Sie alle Richtungen, in denen das Signal im Fernfeld besonders gut bzw. besonders schlecht zu empfangen ist.

Zeichnen Sie diese in ein x-y-Koordinatensystem ein, das auch die Orte der Sendeantennen enthält. (10 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Nach der Thomson-Formel gilt\[ f= \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L\cdot C} } \Rightarrow f_1 = \frac{1}{2\cdot \pi \sqrt{0,55 \cdot 10^{-6} \cdot 6,0 \cdot 10^{-12} }} \rm{Hz} = 88 \rm{MHz} \]\[f_2 =\frac{1}{2\cdot \pi \sqrt{0,55 \cdot 10^{-6} \cdot 4,0 \cdot 10^{-12} }} \rm{Hz} = 107 \rm{MHz} \]Die möglichen Frequenzen liegen im Bereich 88MHz ≤ f ≤ 107MHz.Für die Wellenlängen gilt\[ \lambda \frac{c}{f} \Rightarrow \lambda_1 =\frac{3,0 \cdot 10^8}{88\cdot 10^6} \rm{m} = 3,4 \rm{m}  und  \lambda_2 =\frac{3,0 \cdot 10^8}{107\cdot 10^6} \rm{m} = 2,8 \rm{m}\]Die möglichen Wellenlängen liegen im Bereich 2,8m ≤ λ ≤ 3,4m.

b)Wenn der Sender in der Grundschwingung senden soll, so gilt l = λ/2 => λ = 2·l. Die Wellenlänge der Strahlung muss also λ = 2· 1,55m = 3,10m sein. Für die Frequenz fo gilt dann: \[f_0 = \frac{c}{\lambda} \Rightarrow f_0 = \frac{3,0 \cdot 10^8} {3,10} \rm{Hz} =97 \rm{MHz} \]Hieraus ergibt sich für die Kapazität im Schwingkreis\[f= \frac{1}{2\cdot \pi \cdot \sqrt{L\cdot C}} \Rightarrow C= \frac{1}{4\cdot \pi^2 \cdot f_0^2 \cdot L} \Rightarrow \]\[ C= \frac{1}{4 \cdot \pi^2 \cdot (97\cdot 10^6)^2 \cdot 0,55 \cdot 10^{-6}} \rm{F} = 4,9 \rm{pF} \]

c)Aufgrund der beiden Sender tritt im Strahlungsfeld Interferenz auf. Das Hauptmaximum mit der größten Strahlungsenergie ist auf der Symmetrieachse der beiden Einzelantennen zu finden. Neben den Minima 1. Ordnung gibt es wohl noch weitere Maxima, deren Intensität fällt jedoch stark ab.

d)Bedingung für Maxima:\[b\cdot \vert \sin{\alpha} \vert = k\cdot \lambda_0  mit k \in N_0 \Rightarrow \vert sin{\alpha} \vert = k \]\(k=0:\) \(\alpha_1 =0°\) und \( \alpha_2= 180°\)\(k=1:\) \(\alpha_3 =90°\) und \( \alpha_4= 270°\)

Bedingung für Minima:\[b\cdot \vert \sin{\alpha} \vert = \frac{2k+1}{2} \cdot \lambda_0  mit  k \in N_0 \Rightarrow \vert sin{\alpha} \vert = \frac{2k+1}{2} \]\(k=0:\) \(\alpha_1 =30°\) und \( \alpha_2= 150°\)\(\alpha_3 =210°\) und \( \alpha_4= 330°\)