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Aufgabe

Schwingende Ladung (Abitur SL 1996 LK A1-3)

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Abb. 1 Skizze zur Aufgabe

Die beiden punktförmigen Ladungen an den Orten A und B sind ortsfest und haben den gleichen positiven Wert \(Q\). In der Mitte der Strecke \(\overline {{\rm{AB}}} \) befindet sich die punktförmige negative Ladung \(q\). Durch eine Störung wird die Ladung \(q\) senkrecht zu \(\overline {{\rm{AB}}} \) in \(x\)-Richtung ausgelenkt und beginnt daher um die Ruhelage zu schwingen.

a)

Zeige , dass für die Rückstellkraft \(\vec F\) gilt:\[F(x) = - \frac{{\left| {q \cdot Q} \right|}}{{2 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{x}{{{{\left( {{a^2} + {x^2}} \right)}^{{\textstyle{3 \over 2}}}}}}\]

b)

Zeige, dass für kleine Auslenkung \({\left| x \right| \ll a}\) die Rückstellkraft entgegengesetzt proportional zur Auslenkung \(x\) ist mit dem Proportionalitätsfaktor\[D = \frac{{\left| {q \cdot Q} \right|}}{{2 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0} \cdot {a^3}}}\]

c)

Bestimme die Maßeinheit von \(D\).

d)

Nun soll der schwingende Körper, der die Ladung \(q\) trägt, ein Elektron sein und sich in den Punkten A und B jeweils die positive Elementarladung \(e\) befinden. Die Länge der Strecke \(\overline {{\rm{AB}}}\) ist \(2 \cdot a = 0{,}2\,\rm{nm}\).

Berechne mit der Federhärte \(D\) die Schwingungsdauer des Elektrons.

e)

Berechne die Wellenlänge der vom Oszillator ausgesandten Welle im Vakuum.

Gib an, zu welchem Bereich des elektromagnetischen Spektrums diese Wellenlänge gehört.

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des saarländischen Kultusministeriums.

a)
Abb. 2 Skizze zur Lösung

Berechnung der COULOMB-Kraft, die von der Ladung bei A auf die Probeladung \(q\) ausgeübt wird:\[{F_{{\rm{schräg}}}} = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{\left| {Q \cdot q} \right|}}{{{a^2} + {x^2}}}\]Berechnung des Betrages der zu \(\overline {{\rm{AB}}}\) senkrechten Komponente von \({\vec F_{{\rm{schräg}}}}\):Zum einen gilt\[\cos \left( \alpha  \right) = \frac{x}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}\]Damit ergibt sich nun\[{F_{{\rm{senkrecht}}}} = {F_{{\rm{schräg}}}} \cdot \cos \left( \alpha  \right) = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{\left| {Q \cdot q} \right|}}{{{a^2} + {x^2}}} \cdot \frac{x}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}\]Da die Ladung bei B eine gleich große Kraft in horizonaler Richtung bewirkt, ist die gesamte Kraft in der zu \(\overline {{\rm{AB}}}\) senkrechten Richtung\[{F_{{\rm{senkrecht,ges}}}} = 2 \cdot \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{\left| {Q \cdot q} \right|}}{{{{\left( {{a^2} + {x^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}} \cdot x = \frac{1}{{2 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{\left| {Q \cdot q} \right|}}{{{{\left( {{a^2} + {x^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}} \cdot x\]

b)

Für den Nenner im zweiten Bruch des Ergebnisses von Teilaufgabe a) kann man schreiben\[{\left( {{a^2} + {x^2}} \right)^{{\textstyle{3 \over 2}}}} = {\left[ {{a^2} \cdot \left( {1 + \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} \right)} \right]^{{\textstyle{3 \over 2}}}} = {a^3} \cdot {\left( {1 + \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} \right)^{{\textstyle{3 \over 2}}}}\]Wenn \(\left| x \right| \ll a\) ist, dann ist \({\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}}\approx 0\). Damit ergibt sich\[{\left( {1 + \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} \right)^{\frac{3}{2}}} \approx {\left( {1 + 0} \right)^{\frac{3}{2}}} = {1^{\frac{3}{2}}} = 1\]Somit gilt\[{\left( {{a^2} + {x^2}} \right)^{{\textstyle{3 \over 2}}}} \approx {a^3}\]Insgesamt lässt sich nach für die zu \(\overline {{\rm{AB}}}\) senkrecht wirkende Gesamtkraft näherungsweise schreiben\[{F_{{\rm{senkrecht,ges}}}} = \frac{1}{{2 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{\left| {Q \cdot q} \right|}}{{{a^3}}} \cdot x\]Es liegt somit ein lineares Kraftgesetz \({F_{\rm{senkrecht,ges}}} = - D \cdot x\) vor, bei dem die Richtgröße \(D\) den folgenden Wert hat:\[D = \frac{{\left| {q \cdot Q} \right|}}{{2 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0} \cdot {a^3}}}\]

c)

Für die Einheit von D ergibt sich\[\left[ D \right] = \frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}} \cdot {\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{{\rm{V}} \cdot {\rm{m}}}} \cdot {{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = \frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}} \cdot {\rm{A}} \cdot {\rm{s}} \cdot {\rm{V}} \cdot {\rm{m}}}}{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}} \cdot {{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\; = \frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}} \cdot {\rm{V}}}}{{{\rm{m}} \cdot {\rm{m}}}} = \frac{{\rm{J}}}{{{\rm{m}} \cdot {\rm{m}}}} = \frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}\]

d)

Für die Schwingungsdauer eines - ähnlich wie die Masse bei einem Federpendel -  schwingenden Elektrons der Masse  \(m_{\rm{e}}\) gilt\[T = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{{{m_{\rm{e}}}}}{D}} \quad(1)\]Für \(D\) gilt\[D = \frac{{\left| {q \cdot Q} \right|}}{{2 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0} \cdot {a^3}}} \Rightarrow D = \frac{{{{\left( {1{,}60 \cdot {{10}^{-19}}\,{\rm{A}\,\rm{s}}} \right)}^2}}}{{2 \cdot \pi  \cdot 8{,}85 \cdot {{10}^{-12}}\,\frac{{{\rm{A}\,\rm{s}}}}{{{\rm{V}\,\rm{m}}}} \cdot {{\left( {0{,}1 \cdot {{10}^{-9}}\,{\rm{m}}} \right)}^3}}} = 4{,}6 \cdot {10^2}\,\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}\]Setzt man dieses Ergebnis in \((1)\) ein, so erhält man\[T = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{{9{,}1 \cdot {{10}^{-31}}\,{\rm{kg}}}}{{4{,}6 \cdot {{10}^2}\,\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}}}}  = 2{,}8 \cdot {10^{-16}}\,{\rm{s}}\]

e)

Das Elektron schwingt mit der folgenden Frequenz:\[f = \frac{1}{T} \Rightarrow f = \frac{1}{{2{,}8 \cdot {{10}^{-16}}}}\,{\rm{Hz}}\]Strahlung mit dieser Frequenz hat die folgende Wellenlänge:\[\lambda  \cdot f = c \Leftrightarrow \lambda  = \frac{c}{f} \Rightarrow \lambda  = \frac{{3{,}0 \cdot {{10}^8}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{3{,}6 \cdot {{10}^{15}}\,{\rm{Hz}}}} = 84\,{\rm{nm}}\]Es wird ultraviolette Strahlung emittiert.