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Aufgabe

Reflexion an einem Ballon

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Der Schwingkreis eines Senders besteht aus einer Spule der Induktivität 200μH und einem Drehkondensator, dessen Kapazität zwischen 10pF und 50pF stufenlos stufenlos einstellbar ist.

a)Berechnen Sie die kleinste Wellenlänge des Senders.

In einer Entfernung von 500km vom Sender befindet sich eine Empfangsstation. Erdkrümmung und Höhe von Sender und Empfänger bleiben unberücksichtigt. 5,0km über der Erdoberfläche, auf halbem Weg zwischen Sender und Empfänger, dient ein Ballon als Reflektor.

Die folgenden Teilaufgaben sollen für die beiden verschiedenen Fälle bearbeitet werden, dass

•  einmal die Wellen am Ballon ohne Phasensprung reflektiert werden (dass also am Ballon einlaufendes und reflektiertes Signal gleichphasig sind),

•  zum anderen die Reflexion mit einem Phasensprung π erfolgt (dass einlaufendes und reflektiertes Signal am Ballon gegenphasig sind).

Den Empfänger erreichen sowohl Wellen, die direkt vom Sender kommen, als auch solche, die am Ballon reflektiert worden sind.

b)Berechnen Sie anhand einer sauberen Skizze die Wellenlänge, bei der die Empfangsstation ein Intensitätsmaximum registriert.

Berechnen Sie die zugehörige Kapazität des Drehkondensators.

c)Der Sender arbeite nun mit der Wellenlänge λ = 100m, während der Ballon von seiner Ausgangshöhe beginnend nach oben steigt.

Erläutern Sie, warum sich die Empfangsintensität ändert.

Berechnen Sie, bei welcher Höhe des Ballons der Empfänger erstmals ein Intensitätsminimum registriert.

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a)Die kleinste Wellenlänge ist dann gegeben, wenn die Frequenz des Senders am größten ist. Dies ist nach der Thomson-Formel für die kleinste Kapazität der Fall: \[ f_{max} = \frac{1}{2\cdot \pi} \cdot \sqrt{\frac{1}{L\cdot C_{min}}} \Rightarrow f_{max}=\frac{1}{2\cdot \pi} \cdot \sqrt{\frac{1}{200\cdot 10^{-6} \cdot 10 \cdot 10^{-12}}}\rm{Hz} = 3,56\rm{MHz} \]Die minimale Sendefrequenz ergibt sich aus der fünffachen Kapazität zu:< \[f_{min} = \frac{1}{\sqrt{5}}\cdot f_{max} \Rightarrow f_{min}=1,59 \rm{MHz} \]Mit der Grundgleichung der Wellenlehre bekommt man die zugehörige Wellenlänge \[c=f\cdot \lambda \Rightarrow \lambda =\frac{c}{f} \Rightarrow \lambda_{min} = 84,3\rm{m}\) und \(\lambda_{max}=188,5\rm{m} \]

b)Berechnung des Gangunterschieds Δs:\[ \Delta s= 2\cdot \sqrt{h^2 + \lbrack \frac{s}{2} \rbrack ^2} - s \Rightarrow \] \[ \Delta s= 2\cdot \sqrt{\lbrack 5,0\cdot 10^3 \rbrack ^2 + \lbrack 250 \cdot 10^3 \rbrack^2} \rm{m} - 500 \cdot 10^3 \rm{m} = 100 \rm{m} \]Bei Reflexion ohne Phasensprung (\(\Delta s = k \cdot \lambda \)): für k = 1 und λ =100m ergibt sich ein Maximum.

Zur Wellenlänge von λ´ = 100m gehört die Frequenz f´ = 3,0MHz. Die hierfür erforderliche Kapazität C' ist\[ f' = \frac{1}{2\cdot \pi} \cdot \sqrt{\frac{1}{L\cdot C'}} \Rightarrow C'=\frac{1}{L \cdot 4 \cdot \pi^2 \cdot f'^2} \Rightarrow C' \approx 14 \rm{pF} \]Bei Reflexion mit Phasensprung ( \(\Delta s = k\cdot \lambda + \lambda/2\)): kein Maximum möglich!

c)Es überlagern sich zwei Wellenzüge, deren Gangunterschied von der Ballonhöhe abhängt. Je nach Gangunterschied kann es zu destruktiver bzw. konstruktiver Interferenz kommen oder zu einem Ergebnis, wo es weder zur völligen Auslöschung noch zur optimalen Verstärkung kommt.

Reflexion ohne Phasensprung: Wenn bei der Höhe 5km das 1. Maximum aufgetreten ist, so muss das nächste Minimum, welches bei größerer Höhe auftritt, das 2. Minimum sein: Δs = 3/2·λ\[ \frac{3\cdot \lambda}{2} = 2\cdot \sqrt{h^2 + \lbrack \frac{s}{2} \rbrack ^2} - s \Rightarrow \lbrack \frac {3 \cdot \lambda}{4} + \frac{s}{2} \rbrack^2 = h^2 + \lbrack \frac {s}{2} \rbrack ^2 \] \[h= \sqrt{\lbrack \frac {3 \cdot \lambda}{4} + \frac{s}{2} \rbrack^2 - \lbrack \frac{s}{2} \rbrack^2 } \Rightarrow h= \sqrt{\lbrack 75+250\cdot 10^3 \rbrack ^2 - \lbrack 250 \cdot 10^3 \rbrack^2 }   \rm{m} \]\[ h = 6,124 \rm{km} \]

Reflexion mit Phasensprung: Minimum bei Δs = 2· λ\[ 2\cdot \lambda = 2\cdot \sqrt{h^2 + \lbrack \frac{s}{2} \rbrack ^2} - s \Rightarrow \lbrack \lambda + \frac{s}{2} \rbrack^2 = h^2 + \lbrack \frac {s}{2} \rbrack ^2 \] \[ h= \sqrt{\lbrack \lambda + \frac{s}{2} \rbrack^2 - \lbrack \frac{s}{2} \rbrack^2 } \Rightarrow h= \sqrt{\lbrack 100+250\cdot 10^3 \rbrack ^2 - \lbrack 250 \cdot 10^3 \rbrack^2 }   \rm{m} \] \[ h = 7,072 \rm{km} \]