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Aufgabe

Ladungs- und Stromverteilung im Dipol

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Ein Schwingkreis regt einen Dipol der Länge \(l\) in der Grundschwingung mit der Periodendauer \(T\) an. Die auftretende Dipolstrahlung hat die Wellenlänge \(\lambda = 70\,\rm{cm}\).

a) Bestimmen Sie die Dipollänge \(l\) und berechnen Sie die Frequenz \(f\) des anregenden Schwingkreises sowie dessen Induktivität \(L\), wenn seine Kapazität \(C = 1{,}0\,\rm{pF}\) beträgt.

b) Veranschaulichen Sie jeweils in einem Bild die Stromstärke- bzw. die Ladungsverteilung längs des Dipols zu den Zeiten \(t = 0, \, \frac{1}{4} T ,\, \frac{1}{2} T\) und \(\frac{3}{4} T\) wobei zur Zeit \(t = 0\) kein Strom fließt.

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a) Für die Anregung in der Grundschwingung gilt\[ l = \frac{\lambda}{2} \qquad l = 35 \mathrm{cm} \\ \\ \text{mit} \quad c = f \cdot \lambda \quad \Rightarrow \quad f = \frac{c}{\lambda} \quad \Rightarrow \quad f = \frac{3,0 \cdot 10^8}{0,70} \mathrm{Hz} = 4,3 \cdot 10^8 \mathrm{Hz} \]Nach der Thomson-Formel gilt\[ \begin{array}{} \omega = \frac{1}{ \sqrt{L \cdot C}} \quad \Rightarrow \quad 4 \cdot \pi^2 \cdot f^2 = \frac{1}{L \cdot C} \quad \Rightarrow \quad L = \frac{1}{4 \cdot \pi^2 \cdot f^2 \cdot C} \quad \Rightarrow \\ \\ L = \frac{1}{4 \cdot \pi^2 \cdot \left( 4,3 \cdot 10^8 \right)^2 \cdot 1,0 \cdot 10^{-12}} \mathrm{H} = 0,14 \mathrm{\mu H} \end{array} \]

b)