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Aufgabe

Doppelspalt mit Mikrowellen (Abitur BY 1996 GK A2-2)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Von einem fest angeordneten Sender MS treffen Mikrowellen senkrecht auf ein Metallblech B mit zwei vertikalen Schlitzen, die den Mittenabstand \(b = 20{\rm{cm}}\) haben. Der Empfänger ME hinter dem Doppelspalt ist längs eines Halbkreises verschiebbar (siehe Abbildung).

Beim Verschieben von ME werden unter den Winkeln \({{\alpha _0} = 0^\circ }\) und \({{\alpha _1} = 12^\circ }\) aufeinanderfolgende Maxima des Empfangs festgestellt.

a)Berechnen Sie die Sendefrequenz \(f\). (4 BE)

b)Untersuchen Sie, wie viele Maxima insgesamt höchstens auftreten können. (6 BE)

Anstelle von MS wird nun ein Sender verwendet, der ein kontinuierliches Frequenzspektrum von \(6,5{\rm{GHz}}\) bis \(15{\rm{GHz}}\) abstrahlt.

c)Untersuchen Sie, ob sich die Doppelspaltspektren 1. und 2. Ordnung überlappen. (8 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Für das 1. Maximum gilt \[b \cdot \sin \left( {{\alpha _1}} \right) = \lambda  = \frac{c}{f} \Leftrightarrow f = \frac{c}{{b \cdot \sin \left( {{\alpha _1}} \right)}} \Rightarrow f = \frac{{3,0 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{0,20{\rm{m}} \cdot \sin \left( {12^\circ } \right)}} = {\rm{7}},{\rm{2}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{\rm{9}}}{\rm{Hz}}\]

b)Da der Sinus eines Winkels stets kleiner oder gleich 1 ist, kann man \(k\) mit Hilfe der allgemeinen Maximumsbedingung bestimmen: \[b \cdot \sin \left( {{\alpha _k}} \right) = k \cdot \lambda  \Leftrightarrow \sin \left( {{\alpha _k}} \right){\rm{ = }}\frac{{{\rm{k}} \cdot \lambda }}{{\rm{b}}}\;;\;k \in \mathbb{N}\] und somit \[\frac{{k \cdot \lambda }}{b} = \frac{{k \cdot c}}{{b \cdot f}} \le 1 \Leftrightarrow k \le \frac{{b \cdot f}}{c} \Rightarrow k \le 4,8\] Dies bedeutet, dass \(k\) die Werte \(0\), \(1\), \(2\), \(3\) und \(4\) annehmen kann. Für \(k = 0\) gibt es nur ein Maximum (auf der Symmetrieachse), für \(k = 1\), \(k = 2\) und \(k = 3\) jeweils zwei Maxima. Somit gibt es insgesamt \(9\) Maxima.

c)Je höher die Frequenz ist, desto kleiner ist bei einer bestimmten Ordnung der Ablenkwinkel.

Überlappung tritt ein, wenn der größtmögliche Winkel bei der 1. Ordnung größer ist als der kleinstmögliche Winkel bei der 2. Ordnung:

Maximum 1. Ordnung für \({f_1} = 6,5 \cdot {10^9}{\rm{Hz}}\): \(b \cdot \sin \left( {{\alpha _1}} \right) = \frac{c}{{{f_1}}} \Rightarrow {\alpha _1} = 13^\circ \)

Maximum 2. Ordnung für \({f_2} = 15 \cdot {10^9}{\rm{Hz}}\): \(b \cdot \sin \left( {{\alpha _2}} \right) = \frac{c}{{{f_2}}} \Rightarrow {\alpha _2} = 12^\circ \)

Da \({\alpha _2} < {\alpha _1}\) überlappen sich die Spektren.