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Aufgabe

Doppelsender

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Zwei parallele und gleichlange Dipole S1 und S2 strahlen elektromagnetische Wellen ab, die sich mit \(c = 3,00 \cdot {10^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) ausbreiten. Die Dipole schwingen mit gleicher Frequenz, gleicher Amplitude und gleicher Phase und befinden sich im Abstand \(b = 80,0{\rm{cm}}\).

In großer Entfernung (\(|{\overline {\rm{ME}}| \gg b}\)) von den beiden Dipolen befindet sich ein Empfänger E.

a)Die Frequenz der Sender ist zunächst \(f = 7,50 \cdot {10^8}{\rm{Hz}}\).

Berechne, unter welchen welchen Winkeln (\(0^\circ  \le \alpha  \le 360^\circ \)) E ein Empfangsmaximum registriert.

b)Nun sei \(\alpha  = 30^\circ \).

Untersuche, für welche Sendefrequenzen im Bereich \(1,25 \cdot {10^8}{\rm{Hz}} \le f \le 1,60 \cdot {10^9}{\rm{Hz}}\) der Empfänger E dann ein Maximum registriert.

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a)Bedingung für ein konstruktives Maximum für (\(|{\overline {\rm{ME}}|  \gg b}\)) für \(0^\circ  \le \alpha  \le 90^\circ \) ist \[b \cdot \sin \left( \alpha  \right) = k \cdot \lambda  \Leftrightarrow \;\sin \left( \alpha  \right) = \frac{{k \cdot \lambda }}{b} = k \cdot \frac{c}{{b \cdot f}}\] mit \(k \in {\mathbb{N}_0}\). Einsetzen der gegebenen Werte liefert \[\sin \left( \alpha  \right) = k \cdot \frac{{3,00 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{0,800{\rm{m}} \cdot 7,50 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}}}} = k \cdot 0,500\] Für \(k = 0\) ergibt sich \({\alpha _1} = 0^\circ \) , für \(k = 1\) ergibt sich \({\alpha _2} = 30^\circ \) und für \(k = 2\) ergibt sich \({\alpha _3} = 90^\circ \). Aus Symmetriegründen ergeben sich Maxima auch noch bei \(150^\circ \), \(180^\circ \), \(210^\circ \), \(270^\circ \) und \(330^\circ \).

b)\[\sin \left( {30^\circ } \right) = \frac{{k \cdot c}}{{b \cdot f}} \Leftrightarrow f = k \cdot \frac{c}{{b \cdot \sin \left( {30^\circ } \right)}}\] Einsetzen der gegebenen Werte liefert \[f = k \cdot \frac{{3,00 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{0,800{\rm{m}} \cdot \frac{1}{2}}} = k \cdot 7,5 \cdot {10^8}{\rm{Hz}}\] Für \(k = 1\) ergibt sich \({f_1} = 7,5 \cdot 1{0^8}{\rm{Hz}}\) und für \(k = 2\) ergibt sich \({f_2} = 1,5 \cdot 1{0^9}{\rm{Hz}}\).