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Versuche

Serienresonanzkreis

Aufbau und Durchführung

 

Man schließt an den Ausgang des Sinusgenerators eine Serienschaltung aus Kondensator und Spule und einer empfindlichen Glühlampe L2 an. Parallel dazu wird an den Ausgang eine zweite gleichartige Glühlampe L1 angeschlossen, damit man erkennt, dass die Ausgangsspannung während der Variation der Frequenz konstant bleibt. Beginnend bei niederen Frequenzen (ca. 100 Hz) wird die Frequenz gesteigert.

Beobachtung

Läampe L2 leuchtet am Anfang kaum. Bei einer bestimmten Frequenz leuchtet Lampe L2 hell auf, bei weiterer Steigerung der Frequenz nimmt die Helligkeit von L2 wieder ab.

Mit dem Oszilloskop kann man die Ausgangsspannung des Sinusgenerators zwischen Masse (\( \bot \)) und Abgriff 1 an Kanal I bebachten und die Spannung am Kondensator zwischen Masse (\( \bot \)) und Abgriff II an Kanal II beobachten.

Die Resonatoramplitude (hier die Spannung am Kondensator) ist im Resonanzfall um das etwa 10 fache höher als die Erregeramplitude (Spannung am Generatorausgang). Man spricht daher bei der Serienresonanz auch von der Spannungsresonanz. Der Amplitudenverlauf am Resonator ist rechts dargestellt.

Ergebnis

Die Serienschaltung von Spule und Kondensator stellt also ein schwingungsfähiges System dar, das von außen zu erzwungenen Schwingungen angeregt werden kann. Im Folgenden findest du die Theorie für die Berechnung des Gesamtwiderstandes einer Serienschaltung; sie ist aber eher für mathematisch Interessierte gedacht.

Die Behandlung der Serienresonanz mit dem Zeigerdiagramm ist im Vergleich zur Parallelresonanz einfacher. Daher gehen wir sofort zum komplexeren Fall, bei dem eine reale Spule verwendet wird.

Wenn du wissen willst, wie das Zeigerdiagramm bzw. die wesentlichen Formeln bei Verwendung der idealen Spule aussehen würden, so brauchst du im Zeigerdiagramm dem zum Widerstand gehörenden Zeiger nur die Länge Null geben bzw. in den Formeln R = 0 setzen.

Abb. 5 Berechnung von Spannung, Stromstärke und Phasenwinkel bei einem Serienresonanzkreis mit Hilfe eines Zeigerdiagramms

Den Zusammenhang zwischen Gesamtspannung \({{\hat U}_{LRC}}\) und Gesamtstrom \({{\hat I}_{LRC}}\) (also den Gesamtwiderstand) erhält man wie folgt: Aus\[{{\hat U}_R} = R \cdot {{\hat I}_{LRC}}\]und\[\left| {{{\hat U}_L} - {{\hat U}_C}} \right| = \left| {\omega  \cdot L \cdot {{\hat I}_{LRC}} - \frac{1}{{\omega  \cdot C}} \cdot {{\hat I}_{LRC}}} \right| = \left| {\omega  \cdot L - \frac{1}{{\omega  \cdot C}}} \right| \cdot {{\hat I}_{LRC}}\]erhält man nach dem Satz von PYTHAGORAS für die Gesamtspannung\[{{\hat U}_{LRC}} = \sqrt {{{\left| {{{\hat U}_L} - {{\hat U}_C}} \right|}^2} + {{\hat U}_R}^2}  = {{\hat I}_{LRC}} \cdot \sqrt {{{\left( {\omega  \cdot L - \frac{1}{{\omega  \cdot C}}} \right)}^2} + {R^2}} \]Hieraus ergibt sich \[{X_{LRC}} = \frac{{{{\hat U}_{LRC}}}}{{{{\hat I}_{LRC}}}} = \frac{{{{\hat I}_{LRC}} \cdot \sqrt {{{\left( {\omega  \cdot L - \frac{1}{{\omega  \cdot C}}} \right)}^2} + {R^2}} }}{{{{\hat I}_{LRC}}}} =\sqrt {{{\left( {\omega  \cdot L - \frac{1}{{\omega  \cdot C}}} \right)}^2} + {R^2}} \]und\[{{\hat I}_{LRC}} = \frac{{{{\hat U}_{LRC}}}}{{{X_{LRC}}}} = \frac{{{{\hat U}_{LRC}}}}{{\;\sqrt {{{\left( {\omega  \cdot L - \frac{1}{{\omega  \cdot C}}} \right)}^2} + {R^2}} }}\]

Für die folgenden Diagramme wurden die Werte \({{{\hat U}_{LRC}} = 200{\rm{V}}}\), \({R = 100\Omega }\), \({C = 10,0{\rm{\mu F}}}\) und \(L=1,00\rm{H}\) zu Grunde gelegt.

Bei der Resonanzfrequenz (ca. 3,2·102 s-1) zeigt der Gesamtstrom ein Maximum.

 

Entsprechend dem Strommaximum bei der Resonanzfrequenz zeigt der Widerstand bei dieser Frequenz ein Minimum. Der Wert des Minimums entspricht dem Wert des ohmschen Widerstands (im Beispiel 100Ω).

 

Das Spannungsdiagramm zeigt, dass bei einer Generatorspannung mit der Amplitude 200V an den Elementen Spule und Kondensator erheblich höhere Spannungen (im Beispiel mehr als 600V) auftreten können (Spannungsresonanz).