Versuchsaufbau
Joachim Herz Stiftung
Der in Abb. 1 dargestellte Versuchsaufbau entspricht prinzipiell dem Aufbau zur Untersuchung des ungedämpften Schwingkreises. Zusätzlich wird zwischen jedoch eine Widerstandskaskade in den Schwingkreis geschaltet, mit dem der ohmsche Widerstand einfach variiert werden kann. Alternativ können auch einfach verschiedene nacheinander in den Schwingkreis geschaltet werden.
Zentrale Bauteile des Experimentes:
- Eine elektrische Quelle mit der gut geglätteten Nennspannung \(U_0\) zum Aufladen des Kondensators bei Versuchsbeginn.
- Einen Umschalter \(\rm{S}\), mit dem zwischen den zwei Stromkreisen gewechselt werden kann.
- Einen Kondensator der Kapazität \(C\).
- Eine Spule der Induktivität \(L\).
- Ein Widerstand der Größe \(R\).
- Einen Strommesser für die Stromstärke \(I\).
- Zwei Spannungsmesser für die Spannungen \(U_C\) und \(U_L\).
Für einfache Untersuchungen reicht es in der Regel auch, nur eine der beiden Spannungen oder die Stromstärke zu messen.
Einsatz eines Messwerterfassungssystems
Für quantitative Untersuchungen sollte die Strom- und Spannungsmessung mit Hilfe eines Messwerterfassungssystems erfolgen. Alternativ ist auch der Einsatz eines Oszilloskops oder eines \(x\)-\(y\)-Schreibers möglich.
Mit kabellosen Sensoren zur Messung der Stromstärke im Schwingkreis, der Spannung \(U_C\) über dem Kondensator und der Spannung \(U_L\) über der Spule ergibt sich ein Aufbau wie in Abb. 2. Hierbei sind die Sensoren via Bluetooth mit der Messsoftware verbunden.
Hinweis: Die Polung der Messgeräte ist dabei so gewählt, dass die sich ergebenden Messwerte mit den rechnerischen Lösungen der entsprechenden Differentialgleichung übereinstimmen (siehe Grundwissen).
Mit der Messoftware werden der Strom \(I\) im gedämpften Schwingkreis, die Spannung \(U_C\) über dem Kondensator und die Spannung \(U_L\) über der Spule aufgezeichnet. Dabei sollte die Rate der Datenerfassung bei \(100\,\rm{Hz}\) oder mehr liegen. Auch sollten alle Sensoren beim Versuchsbeginn automatisch auf Null gesetzt werden.
Versuchsdurchführung
Nach dem Starten der Messung wird zunächst der Kondensator mittels der Quelle geladen. Dabei ist die maximal zulässige Spannung von Kondensator und Spannungssensor zu beachten! Anschließend wird der Umschalter umgelegt. Der Versuch wird mit unterschiedlichen Widerständen \(R\) im Schwingkreis wiederholt. Bei der Angabe des Gesamtwiderstands des Systems sollte jeweils der Ohmsche Widerstand der Spule berücksichtigt werden. Weiter sollte bei der Durchführung versucht werden, dass die Umlegung des Schalters jeweils in etwa zur gleichen Zeit nach Messbeginn erfolgt, um die Graphen gut vergleichen zu können.
Versuchsbeobachtung und Auswertung
In der Messwerterfassungssoftware können die unterschiedlichen Versuchsdurchführungen in einem Diagramm dargestellt werden. Dabei können bei Bedarf nacheinander alle drei aufgenommenen Größen analysiert werden (siehe Abbildung).
Schwingfall
So lange der ohmsche Widerstand im Schwingkreis klein genug ist, sodass gilt\[\frac{R^2}{4\cdot L^2}<\frac{1}{L\cdot C}\] schwingt das System. Die Messwerte zeigen dabei anschaulich, dass die Schwingung mit größer werdendem ohmschen Widerstand \(R\) im Kreis schneller abklingt.
Bei einem zu großen Widerstand kann das System nicht mehr schwingen. Es liegt der Kriechfall vor.
Aufgabe
Aufgabe
Im Versuch ergeben sich in folgende Messwerte für die maximale Kondensatorspannung \(U_{C_{\rm{max}}}\) in aufeinanderfolgenden Schwingungen:
| Schwingung \(n\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
| \(U_{C_{\rm{max}}}\) in \(\rm{V}\) | 12 | 7,3 | 4,4 | 2,6 |
Prüfe, ob es sich dabei um eine exponentielle Abnahme handelt.
Kriechfall (überkritische Dämpfung)
Wenn im Schwingkreis \[\frac{R^2}{4\cdot L^2}>\frac{1}{L\cdot C}\] gilt, der Widerstand \(R\) im Schwingkreis also zu groß ist, kann keine Schwingung mehr auftreten. Es tritt der sogenannte Kriechfall ein und die Spannung am Kondensator geht langsam auf Null zurück. Da der entsprechend große ohmsche Widerstand im Schwingkreis einen hohen Stromfluss \(I\) verhindert, fällt die Spannung je langsamer, desto größer der Widerstand \(R\) im Schwingkreis ist (vgl. Abbildungen).
Aperiodischer Grenzfall
Der sog. aperiodische Grenzfall markiert den Übergang zwischen Schwingfall und Kriechfall. Bei Grenzfall geht das System schnellstmöglich in die "Ruhelage" zurück, die Kondensatorspannung geht also schnellstmöglich auf Null zurück.
Der aperiodische Grenzfall tritt dann auf, wenn im gedämpften Schwingkreis gilt\[\frac{R^2}{4\cdot L^2}=\frac{1}{L\cdot C}\]Im gewählten Versuchsaufbau mit einer Induktivität von \(L=630\,\rm{H}\) und einer Kapazität von \(L=40\,\rm{\mu F}\) tritt dieser Fall also auf bei einem Gesamtwiderstand von \[R=\sqrt{\frac{4\cdot L}{C}}\Rightarrow R=\sqrt{\frac{4\cdot 630\,\rm{H}}{40\cdot 10^{-6}\,\rm{F}}}= 7937\,\Omega\]