In der Realität besitzen die Bauteile des Schwingkreises einen elektrischen Widerstand. Dieser führt zu einer Dämpfung der Schwingung.
Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 zeigt dir die Schaltskizze des Aufbaus, mit dem im Versuch eine gedämpfte elektromagnetische Schwingung demonstriert werden kann. Die Schaltskizze zeigt folgende Bauteile:
- Eine elektrische Quelle mit der Nennspannung \(U_0\) zum Aufladen des Kondensators bei Versuchsbeginn.
- Einen Umschalter \(\rm{S}\), mit dem zwischen den zwei Stromkreisen gewechselt werden kann.
- Einen OHMschen Widerstand der Größe \(R\).
- Einen Kondensator der Kapazität \(C\).
- Eine Spule der Induktivität \(L\).
- Einen Strommesser für die Stromstärke \(I\).
- Vier Spannungsmesser für die Spannungen \(U_0\), \(U_R\), \(U_C\) und \(U_L\).
Zeitlicher Verlauf der relevanten Größen
Die Animation in Abb. 2 zeigt dir den zeitlichen Verlauf von Ladung \(Q\) auf der "oberen" Kondensatorplatte, Stromstärke \(I\), Spannung \(U_C\) über dem Kondensator, Spannung \(U_L\) über der Spule, Spannung \(U_R\) über dem Widerstand, elektrischer Energie \(E_{\rm{el}}\), magnetischer Energie \(E_{\rm{mag}}\) und innerer Energie \(E_{\rm{i}}\) eines gedämpften elektromagnetischen Schwingkreises in Abhängigkeit von den relevanten Parameter \(C\), \(L\), \(R\) und \(U_0\). Diese Größen kannst du in gewissen Grenzen verändern und so deren Einfluss auf die Graphen beobachten.
Wird von außen keine Spannung aufgeprägt, so lautet die Differentialgleichung der gedämpften elektromagnetischen Schwingung\[L \cdot \ddot Q + \frac{Q}{C} + R \cdot \dot Q = 0\]Bei unserem Versuchsaufbau haben wir dazu noch die Anfangsbedingungen \(Q(0) = {Q_0}\) und \(I(0) = 0\).
Die Theorie der Differentialgleichungen besagt nun, dass es für verschiedene Werte der Parameter \(R\), \(L\) und \(C\) verschiedene Lösungsfunktionen gibt. Die Lösung dieser Differentialgleichung stellt aber höhere Anforderungen an die Kenntnisse in Mathematik und ist deshalb meist nicht Pflichtstoff. Für besonders interessierte Schülerinnen und Schüler bieten wir diesen Nachweis in den entsprechenden Theorieartikeln (Links am Ende dieses Artikels).
Wir setzen \(\delta = \frac{R}{2 \cdot L}\) sowie \(\omega_0 = \sqrt{\frac{1}{L \cdot C}}\) und erhalten die drei folgenden, unterschiedlichen Fälle.
1. Fall: \(\delta^2<{\omega_0}^2 \) (schwache Dämpfung, Schwingfall)
Im Fall \(\delta^2<{\omega_0}^2\) hat die Differentialgleichung die Lösung\[Q(t) = \hat{Q} \cdot \left( {\cos \left( {\omega \cdot t} \right) + \frac{\delta }{\omega } \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)} \right) \cdot {e^{ - \delta \cdot t}}\]mit \(\hat{Q}=Q_0\), \(\delta = \frac{R}{2 \cdot L}\) und \({\omega} = \sqrt {{\omega_0}^2 - \delta^2} \) mit \(\omega_0=\sqrt{\frac{1}{L \cdot C}}\).
Die zugehörigen Graphen kannst du in Abb. 2 sehen, wenn du z.B. \(C=25\,\rm{\mu F}\), \(L=400\,\rm{H}\) und \(R=2500\,\Omega\) wählst.
Hinweis
In den meisten Fällen ist \(\delta\) klein gegen \(\omega\), so dass der Summand \({\frac{\delta }{\omega } \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)}\) in der Klammer vernachlässigt werden kann. Dann ergibt sich\[Q(t) = \hat{Q} \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) \cdot {e^{ - \delta \cdot t}}\]mit \(\hat{Q}=Q_0\), \(\delta = \frac{R}{2 \cdot L}\) und \({\omega} = \sqrt {{\omega_0}^2 - \delta^2} \) mit \(\omega_0=\sqrt{\frac{1}{L \cdot C}}\).
2. Fall: \(\delta^2 = {\omega_0}^2 \) (starke Dämpfung, aperiodischer Grenzfall)
Im Fall \(\delta^2={\omega_0}^2\) hat die Differentialgleichung die Lösung\[Q(t) = \hat{Q} \left( {1 + \delta \cdot t} \right) \cdot {e^{ - \delta \cdot t}}\]mit \(\hat{Q}=Q_0\) und \(\delta = \frac{R}{2 \cdot L}\).
Die zugehörigen Graphen kannst du in Abb. 2 sehen, wenn du z.B. \(C=40\,\rm{\mu F}\), \(L=160\,\rm{H}\) und \(R=4000\,\Omega\) wählst.
3. Fall: \(\delta^2 > {\omega_0}^2 \) (starke Dämpfung, Kriechfall)
Im Fall \(\delta^2>{\omega_0}^2\) hat die Differentialgleichung die Lösung\[Q(t) = \hat{Q} \cdot \frac{1}{{2 \cdot \lambda }}\left( {\left( {\lambda + \delta } \right) \cdot {e^{\lambda \cdot t}} + \left( {\lambda - \delta } \right) \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}}} \right) \cdot {e^{ - \delta \cdot t}}\]mit \(\hat{Q}=Q_0\), \(\delta = \frac{R}{2 \cdot L}\) und \(\lambda = \sqrt{\delta^2 - {\omega_0}^2}\) mit \(\omega_0=\sqrt{\frac{1}{L \cdot C}}\).
Die zugehörigen Graphen kannst du in Abb. 2 sehen, wenn du z.B. \(C=40\,\rm{\mu F}\), \(L=160\,\rm{H}\) und \(R=5000\,\Omega\) wählst.