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Aufgabe

Warensicherung (Abitur BY 2018 Ph11-1 A2)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Bestimmte Warensicherungsetiketten enthalten einen elektromagnetischen Schwingkreis mit der Eigenfrequenz \(8{,}2\,\rm{MHz}\). Der Schwingkreiskondensator besteht aus zwei Platten im Abstand \(15\,\rm{µm}\). Die Plattenfläche (in Abb. 1 grau dargestellt) beträgt ca. \(13\,\%\) der Gesamtfläche des Warensicherungsetiketts. Der Raum zwischen den Platten ist mit Polypropylen gefüllt, wodurch sich die Kapazität des Kondensators um den Faktor \({\varepsilon _{\rm{r}}} = 2{,}3\) gegenüber der eines luftgefüllten Kondensators erhöht. Aufgrund einer eingebauten Soll-Kurzschlussstelle wird der Kondensator zerstört, wenn die Plattenspannung einen Wert von \(4{,}5\,\rm{V}\) übersteigt.

a)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Etikett zur Warensicherung

Bestimme mithilfe der Abb. 1 (im Original hat das quadratische Warensicherungsetikett die Kantenlänge \(35\,\rm{mm}\)) die Kapazität des Kondensators im Schwingkreis.

Bestimme daraus die Induktivität der Spule. [zur Kontrolle: \(C = 2{,}2 \cdot {10^{ - 10}}\,{\rm{F}}\)] (8 BE)

b)

Berechne die maximale Energie, die der Schwingkreis aufnehmen kann, ohne zerstört zu werden. (3 BE)

Warenhäuser besitzen am Ausgang Schleusen, die aus einer Sendespule S und einer Empfangsspule E in einem Abstand von ca. einem Meter bestehen (vgl. Abb 2). An die Sendespule wird eine sinusförmige Wechselspannung der Frequenz \(f\) angelegt.

c)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Sicherheitsschleuse

Erkläre, dass ein an E angeschlossenes Messgerät eine Wechselspannung anzeigt. (3 BE)

Joachim Herz Stiftung
Abb. 3 Sendesignal

Befindet sich eine Ware mit intaktem Sicherungsetikett in der Schleuse, so nimmt der Schwingkreis Energie auf, wenn die Frequenz \(f\) mit seiner Eigenfrequenz übereinstimmt. Man beobachtet dann ein Absinken des Scheitelwerts \(U_{\rm{E}}\) der bei E gemessenen Wechselspannung. Größere Metallgegenstände führen ebenfalls zu einem Absinken von \(U_{\rm{E}}\) und können einen Fehlalarm auslösen. Um dies zu vermeiden, wird der Sender so eingestellt, dass die Frequenz periodisch um den Mittelwert \(8{,}2\,\rm{MHz}\) schwankt (siehe Abb. 3).

d)

In der Schleuse befinden sich

α)

ein intaktes Sicherungsetikett bzw.

β)

ein größerer Metallgegenstand.

Ordne den beiden Fällen je eines der Diagramme 1 bis 4 aus Abb. 4 passend zu.

Begründe deine Entscheidung. (9 BE)

 

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Abb. 4 Mögliche Empfangssignale
e)

Beim Bezahlvorgang werden die Etiketten an der Kasse kurz einem magnetischen Wechselfeld \(B\left( t \right) = 5{,}8\,{\rm{\mu T}} \cdot \sin \left( {2 \cdot \pi  \cdot 16\,{\rm{ MHz}} \cdot t} \right)\) ausgesetzt.
 

Bestimme aus Abb. 1 (im Original hat das "Quadrat" der äußeren Windung die Kantenlänge \(30\,\rm{mm}\) und das Quadrat der inneren Windung die Kantenlänge \(22\,\rm{mm}\)) näherungsweise die mittlere Querschnittsfläche sowie die Windungszahl der zweilagigen Schwingkreisspule.

Berechne damit den Maximalwert der darin induzierten Spannung.

Begründe, dass das Etikett deaktiviert wird. (7 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)

Berechnung des Flächeninhalts \(A\) der Platten des Kondensators:\[A = \frac{{13}}{{100}} \cdot {a^2} \Rightarrow A = \frac{{13}}{{100}} \cdot {\left( {3{,}5 \cdot {{10}^{ - 2}}\,{\rm{m}}} \right)^2} = 1{,}6 \cdot {10^{ - 4}}\,{{\rm{m}}^2}\]Berechnung der Kapazität \(C\):\[C = {\varepsilon _r} \cdot {\varepsilon _0} \cdot \frac{A}{d} \Rightarrow C = 2{,}3 \cdot 8{,}85 \cdot 1{0^{ - 12}}\,\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{{\rm{V}} \cdot {\rm{m}}}} \cdot \frac{{1{,}59 \cdot {{10}^{ - 4}}\,{{\rm{m}}^2}}}{{15 \cdot {{10}^{ - 6}}\,{\rm{m}}}} = 2{,}2 \cdot {10^{ - 10}}\,{\rm{F}}\]Mit Hilfe der THOMSON-Formel und der bekannten Kapazität \(C\) lässt sich die Induktivität \(L\) der Schwingkreisspule bestimmen:\[f = \frac{1}{{2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {L \cdot C} }} \Leftrightarrow \sqrt {L \cdot C}  = \frac{1}{{2 \cdot \pi  \cdot f}} \Rightarrow L = \frac{1}{{C \cdot 4 \cdot {\pi ^2} \cdot {f^2}}}\]Einsetzen der gegebenen und berechneten Werte liefert\[L = \frac{1}{{2{,}16 \cdot 1{0^{ - 10}}\,\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{\rm{V}}} \cdot 4 \cdot {\pi ^2} \cdot {{\left( {8{,}2 \cdot {{10}^6}\,\frac{1}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}} = 1{,}7 \cdot {10^{ - 6}}\,{\rm{H}}\]

b)

Die maximale Energieaufnahme ist erreicht, wenn am Kondensator die Spannung \(4{,}5\,\rm{V}\) auftritt. Die Maximalenergie am Kondensator ist gleich der maximalen Energie, die der Schwingkreis aufnehmen kann.

Für die Energie am Kondensator gilt\[{E_{{\rm{el}}}} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot {U^2} \Rightarrow {E_{{\rm{el}}}} = \frac{1}{2} \cdot 2{,}2 \cdot {10^{ - 10}}\,\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{\rm{V}}} \cdot {\left( {4{,}5\,{\rm{V}}} \right)^2} = 2{,}2 \cdot {10^{ - 9}}\,{\rm{J}}\]

c)

Die Wechselspannung an der Sendespule S erzeugt ein magnetisches Wechselfeld, das auch die Empfängerspule durchsetzt. Nach dem Induktionsgesetz tritt aufgrund der Änderung des magnetischen Flusses in der E eine Induktionsspannung auf, die vom Messgerät angezeigt wird.

d)

Wenn sich ein intaktes Sicherungsetikett zwischen den Spulen S und E befindet, dann stellt das Diagramm 4 die Verhältnisse richtig dar: Immer dann, wenn Frequenz der Spannung \(U_{\rm{S}}\) an der Sendespule die Resonanzfrequenz des Schwingkreises im Sicherungsetikett erreicht, nimmt der Schwingkreis Energie auf. Dies ist im betrachteten Zeitraum von \(\left[ {0,{\rm{ms}}; 4\,{\rm{ms}}} \right]\) fünfmal der Fall. Die Energieaufnahme des Schwingkreises führt dazu, dass die Spannung an der Empfängerspule im betrachteten Zeitraum fünfmal abnimmt.
 

Wenn sich ein größerer Metallgegenstand zwischen den Spulen S und E befindet, dann stellt das Diagramm 3 die Verhältnisse am besten dar: Im Metallgegenstand erzeugt das magnetische Wechselfeld Wirbelströme, deren Intensität kaum von der Frequenz der Spannung \(U_{\rm{S}}\) der Sendespule abhängt. Die induzierte Spannung in der Empfängerspule schwankt im Takt von \(-U_{\rm{S}}(t)\). Aufgrund der Energieverluste im Metallstück liegt jedoch der Betrag der in der Empfängerspule induziert Spannung stets unter den entsprechenden Werten, die ohne das Metallstück festzustellen wären.

e)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 5 Warensicherungsetikett

Die grün skizzierte Fläche hat den mittleren Flächeninhalt der Induktionsspule. Die Windungszahl der zweilagigen Spule ist \(N = 2 \cdot 7 = 14\). Die mittlere Querschnittsfläche ist\[{\overline A _{{\rm{Spule}}}} = {\left( {26 \cdot {{10}^{ - 3}}\,{\rm{m}}} \right)^2} = 6{,}8 \cdot {10^{ - 4}}\,{{\rm{m}}^2}\]

Für die in der Spule induzierte Spannung gilt

\[{U_{{\rm{ind}}}} =  - N \cdot {\overline A _{{\rm{Spule}}}} \cdot \frac{{dB}}{{dt}} =  - N \cdot {\overline A _{{\rm{Spule}}}} \cdot \frac{d}{{dt}}\left( {{B_0} \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)} \right) =  - N \cdot {\overline A _{{\rm{Spule}}}} \cdot {B_0} \cdot \omega  \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right)\]

Für die in der Spule maximal induzierte Spannung gilt

\[{U_{{\rm{ind,max}}}} = N \cdot {\overline A _{{\rm{Spule}}}} \cdot {{\rm B}_0} \cdot \omega  \Rightarrow {U_{{\rm{ind,max}}}} = 14 \cdot 6{,}8 \cdot 1{0^{ - 4}}\,{{\rm{m}}^2} \cdot 5{,}8 \cdot 1{0^{ - 6}}\,\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^2}}} \cdot 2 \cdot \pi  \cdot 16 \cdot {10^6}\,\frac{1}{{\rm{s}}} = 5{,}5\,{\rm{V}}\]

Diese maximale Spannung an der Spule tritt (zeitversetzt) auch am Kondensator auf. Da \(5{,}5\,\rm{V}\) höher sind als \(4{,}5\,\rm{V}\) wird der Kondensator zerstört.