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Aufgabe

THOMSONsche Schwingungsgleichung

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

a)

Ein Kondensator der Kapazität \(0{,}10\,\rm{\mu F}\) und eine Spule der Induktivität \(55\,\rm{mH}\) bilden einen Schwingkreis.

Berechne die Periodendauer und die Eigenfrequenz des Schwingkreises.

b)

Ein Schwingkreis besteht aus einer Spule mit der Induktivität \(10\,\rm{mH}\) sowie einem Kondensator und hat eine Schwingungsdauer von \(10\,\rm{ms}\).

Berechne die Kapazität des Kondensators.

c)

Ein ungedämpfter Schwingkreis mit der Eigenfrequenz \(460\,\rm{Hz}\) besteht aus einer Spule mit der Induktivität \(200\,\rm{mH}\) und einem Kondensator.

Berechne die Kapazität des Kondensators.

d)

Ein Kondensator mit der Kapazität \(0{,}10\,\rm{\mu F}\) soll zusammen mit einer Spule einen Schwingkreis mit der Periodendauer \(2{,}1 \cdot 10^{-3}\,\rm{s}\) bilden.

Berechne die Induktivität der Spule.

e)

Der Schwingkreis eines Funkempfängers für die Frequenz \(1{,}6\,\rm{MHz}\) besteht aus einer Spule und einem Kondensator mit der Kapazität \(50\,\rm{pF}\).

Berechne die Induktivität der benutzten Spule.

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a)

Mit \(C=0{,}10\,\rm{\mu F}=0{,}10 \cdot 10^{-6}\,\rm{F}\) und \(L=55\,\rm{mH}=55 \cdot 10^{-3}\,\rm{H}\) nutzen wir die THOMSONsche Schwingungsgleichung für die Periodendauer\[T = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {L \cdot C} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[T = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {55 \cdot {{10}^{-3}}\, {\rm{H}} \cdot 0{,}10 \cdot {{10}^{ - 6}}\,{\rm{F}}}  = 4{,}7 \cdot {10^{-4}}\,{\rm{s}} = 0{,}47\,{\rm{ms}}\]Die THOMSONsche Schwingungsgleichung für die Eigenfrequenz\[f = \frac{1}{{2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {L \cdot C} }}\]liefert nach Einsetzen der gegebenen Werte\[f = \frac{1}{{2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {55 \cdot {{10}^{-3}}\,{\rm{H}} \cdot 0{,}10 \cdot {{10}^{-6}}\,{\rm{F}}} }} = 2{,}1 \cdot {10^3}\,{\rm{Hz}} = 2{,}1\,{\rm{kHz}}\]

b)

Mit \(L=10\,\rm{mH}=10 \cdot 10^{-3}\,\rm{H}\) und \(T=10\,\rm{ms}=10 \cdot 10^{-3}\,\rm{s}\) erhalten wir mit der THOMSONschen Schwingungsgleichung für die Periodendauer\[T = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {L \cdot C}  \Rightarrow C = \frac{{{T^2}}}{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot L}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[C = \frac{{{{\left( {10 \cdot {{10}^{-3}}\,{\rm{s}}} \right)}^2}}}{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot 10 \cdot 10^{-3}\,\rm{H}}} = 2{,}5 \cdot 10^{-4}\,{\rm{F}}=250\,\rm{\mu F}\]Das Ergebnis ist nur auf zwei Ziffern genau.

c)

Mit \(L=200\,\rm{mH}=200 \cdot 10^{-3}\,\rm{H}\) und \(f=460\,\rm{Hz}\) erhalten wir mit der THOMSONschen Schwingungsgleichung für die Frequenz\[f = \frac{1}{{2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {L \cdot C} }} \Rightarrow C = \frac{1}{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot {f^2} \cdot L}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[C = \frac{1}{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot {{\left( {460\,{\rm{Hz}}} \right)}^2} \cdot 200 \cdot {{10}^{-3}}\,{\rm{H}}}} = 5{,}99 \cdot {10^{-7}}\,{\rm{F}} = 599\,{\rm{nF}}\]

d)

Mit \(C=0{,}10\,\rm{\mu F}=0{,}10 \cdot 10^{-6}\,\rm{F}\) und \(T=2{,}1 \cdot 10^{-3}\,\rm{s}\) erhalten wir mit der THOMSONschen Schwingungsgleichung für die Periodendauer\[T = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {L \cdot C}  \Rightarrow L = \frac{{{T^2}}}{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot C}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[L = \frac{{{{\left( {2{,}1 \cdot {{10}^{-3}}\,{\rm{s}}} \right)}^2}}}{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot 0{,}10 \cdot {{10}^{-6}}\,{\rm{F}}}} = 1{,}1\,{\rm{H}}\]

e)

Mit \(C=50\,\rm{pF}=50 \cdot 10^{-12}\,\rm{F}\) und \(f=1{,}6\,\rm{MHz}=1{,}6 \cdot 10^6\,\rm{Hz}\) erhalten wir mit der THOMSONschen Schwingungsgleichung für die Frequenz\[f = \frac{1}{{2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {L \cdot C} }} \Rightarrow L = \frac{1}{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot {f^2} \cdot C}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[L = \frac{1}{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot {{\left( {1{,}6 \cdot {{10}^6}\,{\rm{Hz}}} \right)}^2} \cdot 50 \cdot {{10}^{ - 12}}\,{\rm{F}}}} = 2{,}0 \cdot {10^{ - 4}}\,{\rm{H}} = 0{,}20\,{\rm{mH}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Elektromagnetische Schwingungen