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Aufgabe

Strom und Spannung im Schwingkreis (Abitur BY 2004 GK A2-1)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Ein idealer Schwingkreis, der aus der Kapazität \({C = 44{\rm{pF}}}\) und der Induktivität \({L = 3,0{\rm{\mu H}}}\) besteht, schwingt ungedämpft. Zum Zeitpunkt \(t = 0\) ist der Kondensator vollständig aufgeladen, die Spannung beträgt dann \(12{\rm{V}}\).

a)Berechnen Sie die Schwingungsdauer \(T\). [zur Kontrolle: \(T = 7,2 \cdot {10^{ - 8}}{\rm{s}}\)] (2 BE).

b)Ermitteln Sie den Zeitpunkt, zu dem der Kondensator nach \(t = 0\) erstmals vollständig entladen ist. Bestimmen Sie die Stromstärke \(I\) zu diesem Zeitpunkt [zur Kontrolle: \(I = 46{\rm{mA}}\)] (6 BE) [zur Kontrolle: \(t = 1,8 \cdot {10^{ - 8}}{\rm{s}}\)]

c)Zeichnen Sie mit Hilfe der Teilaufgaben a) und b) den zeitlichen Verlauf der Spannung und der Stromstärke innerhalb einer Schwingungsdauer. (6 BE)

d)Erläutern Sie allgemein das Prinzip von Schaltungen, die es ermöglichen, einen realen Schwingkreis zu ungedämpften Schwingungen anzuregen. (6 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Berechnung der Schwingungsdauer nach der THOMSON-Formel\[T = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {L \cdot C}  \Rightarrow T = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {3,0 \cdot {{10}^{ - 6}}\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}}{{\rm{A}}} \cdot 44 \cdot {{10}^{ - 12}}\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{\rm{V}}}}  = 7,2 \cdot {10^{ - 8}}{\rm{s}}\]

b)Der Kondensator ist nach der Zeit \(\frac{T}{4} = 1,8 \cdot {10^{ - 8}}{\rm{s}}\) zum ersten Mal vollständig entladen. Berechnung der Stromstärke aus einer Energiebetrachtung: Zum Zeitpunkt \(t = 0\) liegt die Gesamtenergie im Kreis ausschließlich als elektrische Energie im Kondensator vor. Zum Zeitpunkt \(t = \frac{T}{4}\) liegt die Gesamtenergie ausschließlich als magnetische Energie der Spule vor. Da der Kreis ungedämpft schwingt, gilt\[\frac{1}{2} \cdot L \cdot {I_{{\rm{max}}}}^2 = \frac{1}{2} \cdot C \cdot {U_{{\rm{max}}}}^2 \Leftrightarrow {I_{{\rm{max}}}} = {U_{{\rm{max}}}} \cdot \sqrt {\frac{C}{L}}  \Rightarrow {I_{{\rm{max}}}} = 12{\rm{V}} \cdot \sqrt {\frac{{44 \cdot {{10}^{ - 12}}\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{\rm{V}}}}}{{3,0 \cdot {{10}^{ - 6}}\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}}{{\rm{A}}}}}}  = 46{\rm{mA}}\]

c) 

d)Das zur Erzeugung ungedämpfter Schwingungen benutzte Prinzip ist das der Rückkopplung. Man entnimmt dem Schwingkreis zum Beispiel durch eine Koppelspule ein Signal, das einem Verstärker zugeführt wird. Das verstärkte Signal wird zur phasenrichtigen Anregung des Schwingkreises benutzt. Als Verstärker kann z.B. eine Triode dienen.