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Aufgabe

Gedämpfter Schwingkreis (Abitur BY 1995 LK A5-2)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Bei der Entladung eines Kondensators über eine Spule und einen in Reihe geschalteten Widerstand entsteht eine gedämpfte elektromagnetische Schwingung. \(R\) sei so klein, dass eine schwache Dämpfung vorliegt.

a)Skizziere eine möglichst einfache Schaltung zur Darstellung des Spannungsverlaufs am Kondensator mit einem Schreiber oder Oszilloskop.

Skizziere das resultierende Zeit-Spannungs-Diagramm.

Beschreibe qualitativ, wie sich eine Veränderung der Bauteile des Schwingkreises jeweils auf das Diagramm auswirkt. (7 BE)

b)Der gedämpfte Schwingkreis von Teilaufgabe a) soll durch Rückkopplung zu einer ungedämpften elektromagnetischen Schwingung angeregt werden.

Fertige eine beschriftete Skizze einer geeigneten Schaltung an. (5 BE)

c)In einem idealen ungedämpften Schwingkreis mit der Eigenfrequenz \(f = 7,5{\rm{kHz}}\) hat die Spule die Induktivität \({L = 0,45{\rm{mH}}}\). Durch eine zusätzliche Kapazität \({C^*}\) soll nun die Eigenfrequenz halbiert werden.

Erläutere, wie sich das bewerkstelligen lässt und wie \({C^*}\) von der ursprünglichen Kapazität \(C\) abhängt.

Berechne \({C^*}\) in Farad. (6 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a) 

Eine Vergrößerung von \(C\) bzw. \(L\) bewirkt eine höhere Schwingungsdauer \(T\).

Eine Erhöhung von \(R\) bewirkt eine stärkere Dämpfung, d.h. die Amplituden der \(t\)-\(U_C\)-Kurve werden schneller kleiner.

b) 

c)Wenn die Eigenfrequenz halbiert werden soll, so muss wegen der THOMSON-Formel die Kapazität vervierfacht werden: \[f = \frac{1}{{2 \cdot \pi }} \cdot \frac{1}{{\sqrt {L \cdot C} }}\] Dies kann durch Parallelschaltung eines Kondensators mit der Kapazität \({C^*} = 3 \cdot C\) erreicht werden.

Berechnung der ursprünglichen Kapazität: \[C = \frac{1}{L} \cdot \frac{1}{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot {f^2}}} \Rightarrow  C = \frac{1}{{0,45 \cdot {{10}^{ - 3}}}} \cdot \frac{1}{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot {{\left( {7,5 \cdot {{10}^3}} \right)}^2}}}{\rm{F}} \approx 1,0{\rm{\mu F}}\] Somit gilt für \(C^*\): \[{C^*} = 3 \cdot 1,0{\rm{\mu F}} = 3,0{\rm{\mu F}}\] Man muss also einen Kondensator mit \(3,0{\rm{\mu F}}\) parallel schalten.