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Aufgabe

Gedämpfte Schwingung (Abitur BY 2007 GK A2-1)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

An einen Kondensator mit der Kapazität \(C = 300\mu F\) ist zunächst die Spannung \({U_0} = 0,40{\rm{V}}\) angelegt. Die Stromquelle wird danach abgetrennt und der Kondensator über eine Spule mit der Induktivität \(L = 0,35{\rm{mH}}\) entladen. Während des Entladens wird der zeitliche Verlauf der Spannung \({U_{\rm{C}}}\) am Kondensator mit einem Oszilloskop dargestellt.

a)Fertigen Sie eine Schaltskizze zur Durchführung des obigen Versuchs an. (4 BE)

b)Berechnen Sie die Schwingungsdauer \(T\) dieses zunächst als ideal angenommenen Schwingkreises. (3 BE) [zur Kontrolle: \(T = 2,0{\rm{ms}}\)]

c)Nehmen Sie an, dass während der ersten zwei Perioden der Schwingung die Energie im Schwingkreis konstant bleibt. Berechnen Sie unter dieser Annahme den maximalen Spulenstrom \({I_0}\) in diesem Zeitraum. (5 BE) [zur Kontrolle: \({I_0} = 0,37{\rm{A}}\)]

d)Zeichnen Sie für die Annahmen aus Teilaufgabe c) den Verlauf der Kondensatorspannung \({U_{\rm{C}}}\) und des Spulenstroms \({I_{\rm{L}}}\) in ein \(t\)-\({U_{\rm{C}}}\)- bzw. \(t\)-\({I_{\rm{L}}}\)-Diagramm. Begründen Sie, warum \({U_{\rm{C}}}\) und \({I_{\rm{L}}}\) nicht gleichzeitig ihre Maximalwerte annehmen. (8 BE)

e)Das nebenstehende Diagramm zeigt den realen Verlauf von \({U_{\rm{C}}}\). Geben Sie zu den folgenden Aussagen an, ob sie richtig oder falsch sind und begründen Sie jeweils kurz Ihre Antwort. (7 BE)

•  Nach \(2,5\) Perioden ist die Energie im Schwingkreis auf etwa \(25\% \) der Anfangsenergie abgesunken.

•  Das Produkt aus \({U_{\rm{C}}}\) und \({I_{\rm{L}}}\) ist zeitlich konstant.

•  Die Spule erwärmt sich.

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)In der skizzierten Schalterstellung wird der Kondensator geladen. Wird der Schalter umgelegt, so entlädt sich der Kondensator über die Spule. Parallel zum Kondensator wird das Oszilloskop (Messung des zeitlichen Verlaufs der Kondensatorspannung) angeschlossen.

 

b)Anwendung der THOMSON-Formel:\[T = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {L \cdot C}  \Rightarrow {\kern 1pt} T = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {0,35 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{H}} \cdot 300 \cdot {{10}^{ - 6}}{\rm{F}}}  = 2,0 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{s}} = 2,0{\rm{ms}}\]

c)Wenn keine Verluste im Kreis auftreten, dann ist die maximale elektrische Energie des Kondensators gleich der maximalen magnetischen Energie der Spule. Es gilt also \({E_{{\rm{max}}{\rm{,mag}}}} = {E_{{\rm{max}}{\rm{,el}}}}\) und damit\[{\frac{1}{2} \cdot L \cdot {I_0}^2 = \frac{1}{2} \cdot C \cdot {U_0}^2 \Rightarrow {I_0} = {U_0} \cdot \sqrt {\frac{C}{L}} }\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{{I_0} = 0,40{\rm{V}} \cdot \sqrt {\frac{{300 \cdot {{10}^{ - 6}}{\rm{F}}}}{{0,35 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{H}}}}}  = 0,37{\rm{A}}}\]

d)Auch im Schwingkreis gilt der Energieerhaltungssatz: \({E_{{\rm{el}}}}(t) + {E_{{\rm{mag}}}}(t) = {E_{{\rm{ges}}}} = {\rm{const.}}\). Ist der Kondensator gerade voll aufgeladen (z.B. bei \(t = 2,0{\rm{ms}}\)), so ist die elektrische Energie und damit auch die Kondensatorspannung gerade maximal. Im Kreis fließt in diesem Augenblick kein Strom und somit ist die magnetische Energie in diesem Zeitpunkt minimal (= Null). Wenn die magnetische Energie minimal ist, so ist auch der Spulenstrom minimal. Die Phasenverschiebung zwischen Strom \({I_{\rm{L}}}\) und Spannung \({U_{\rm{C}}}\) ist eine Folge der periodischen Umwandlung zwischen den zwei Energieformen \({E_{{\rm{mag}}}}\) und \({E_{{\rm{el}}}}\).

 

e)Die erste Aussage ist richtig. Nach \(2,5\) Perioden (\(t = 5,0{\rm{ms}}\)) ist die Kondensatorspannung auf die Hälfte des Anfangswertes gesunken:\[{U_{\rm{C}}}(2,5 \cdot T) =  - \frac{{{U_0}}}{2}\]Es gilt\[{E_{{\rm{ges}}}}(2,5 \cdot T) = {E_{{\rm{el}}}}(2,5 \cdot T) + {E_{{\rm{mag}}}}(2,5 \cdot T)\]Da im betrachteten Zeitpunkt die Spannung maximal ist, muss der Strom Null sein. Somit ist auch die magnetische Energie in diesem Zeitpunkt Null und es gilt\[\begin{eqnarray}{E_{{\rm{ges}}}}(2,5 \cdot T) &=& {E_{{\rm{el}}}}(2,5 \cdot T)\\ &=& \frac{1}{2} \cdot C \cdot {\left( {{U_{\rm{C}}}(2,5 \cdot T)} \right)^2}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot C \cdot {\left( { - \frac{1}{2} \cdot {U_0}} \right)^2}\end{eqnarray}\]Aus dem letzten Term erkennt man nach dem Ausquadrieren, dass die Gesamtenergie nach \(2,5\) Perioden nur noch ein Viertel der Anfangsenergie ist.

Die zeite Aussage ist falsch. Bei \(t = 0\) gilt \({U_{\rm{C}}}(0) \cdot {I_{\rm{L}}}(0) = 0\), bei \(t = \frac{T}{8}\) gilt \({U_{\rm{C}}}\left( {\frac{T}{8}} \right) \cdot {I_{\rm{L}}}\left( {\frac{T}{8}} \right) \ne 0\).

Die dritte Aussage ist richtig. Die anfänglich vorhandene elektromagnetische Energie wird mit zunehmender Versuchsdauer zu einem immer höheren Prozentsatz in innere Energie umgesetzt. Dabei kommt es zu einer Erwärmung der Spule.