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Aufgabe

Einübung der THOMSON-Formel

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

a)Berechnen Sie die Frequenz, mit der ein Schwingkreis, bestehend aus einem Kondensator (C = 40μF) und einer Spule (L = 630H) schwingt.

b)Wie muss man den Wert der Kapazität abändern, damit die Frequenz auf die Hälfte des bei Teilaufgabe a) berechneten Wertes absinkt?

c)Welche Schwingkreisfrequenz erhält man, wenn in der Anordnung von Teilaufgabe a) noch ein weiterer 40μF-Kondensator zum bereits vorhandenen Kondensator in Serie geschaltet wird?

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a)\[\begin{array}{l}\omega  = \frac{1}{{\sqrt {L \cdot C} }} \Rightarrow 2 \cdot \pi  \cdot f = \frac{1}{{\sqrt {L \cdot C} }} \Rightarrow f = \frac{1}{{2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {L \cdot C} }}\\ \Rightarrow f = \frac{1}{{2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {630 \cdot 40 \cdot 1{0^{ - 6}}} }}\frac{1}{{\sqrt {{\textstyle{{V \cdot s} \over A}} \cdot {\textstyle{{A \cdot s} \over V}}} }} \approx 1,0Hz\end{array}\]Es handelt sich also um einen "1Hz-Schwingkreis".

b)Man muss die Kapazität vervierfachen, da \(f \sim \frac{1}{{\sqrt C }}\) gilt. Also braucht man eine Kapazität von ca. \(160\mu F\).

c)Für die Hintereinanderschaltung von Kondensatoren gilt für die resultierende Kapazität: \[\begin{array}{l}\frac{1}{{{C_{res}}}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} \Rightarrow \frac{1}{{{C_{res}}}} = \frac{2}{C}\\ \Rightarrow {C_{res}} = \frac{C}{2} \Rightarrow {C_{res}} = 20\,\mu F\end{array}\]Die neue Kapazität ist also halb so groß wie in Teilaufgabe a). Wegen \(f \sim \frac{1}{{\sqrt C }}\) ergibt sich dann eine um \(\sqrt 2 \) höhere Frequenz, also etwa \(1,4Hz\).