a)Berechne die Frequenz, mit der ein Schwingkreis, bestehend aus einem Kondensator mit der Kapazität \(40\,\rm{\mu F}\) und einer Spule mit der Induktivität \(630\,\rm{H}\) schwingt.
b)Gib begründet an, wie der Wert der Kapazität abgeändert werden muss, damit die Frequenz auf die Hälfte des bei Teilaufgabe a) berechneten Wertes absinkt.
c)Berechne, welche Schwingkreisfrequenz man erhält, wenn in der Anordnung von Teilaufgabe a)noch ein weiterer \(40\,\rm{\mu F}\)-Kondensator zum bereits vorhandenen Kondensator in Serie geschaltet wird.
a)\[{\omega = \frac{1}{{\sqrt {L \cdot C} }} \Rightarrow f = \frac{1}{{2 \cdot \pi \cdot \sqrt {L \cdot C} }}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{f = \frac{1}{{2 \cdot \pi \cdot \sqrt {630\,{\rm{H}} \cdot 40 \cdot {{10}^{ - 6}}\,{\rm{F}}} }} = 1{,}0\,{\rm{Hz}}}\]Es handelt sich also um einen "\(1\,\rm{Hz}\)-Schwingkreis".
b)Man muss die Kapazität vervierfachen, da \(f \sim \frac{1}{{\sqrt C }}\) gilt. Also braucht man eine Kapazität von ca. \(160\,\rm{\mu F}\).
c)Für die Hintereinanderschaltung von Kondensatoren gilt für die resultierende Kapazität\[{\frac{1}{{{C_{{\rm{res}}}}}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C} \Rightarrow {C_{{\rm{res}}}} = \frac{C}{2}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{{C_{{\rm{res}}}} = \frac{{40\,{\rm{\mu F}}}}{2} = 20\,{\rm{\mu F}}}\]Die neue Kapazität ist also halb so groß wie in Teilaufgabe a). Wegen \(f \sim \frac{1}{{\sqrt C }}\) ergibt sich dann eine um \(\sqrt 2 \) höhere Frequenz, also etwa \(1{,}4\,\rm{Hz}\).
