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Aufgabe

Differentialgleichungen

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Auf der Grundwissensseite zu den elektromagnetischen Schwingungen wurde die Differentialgleichung für elektromagnetische Schwindungen aus der Maschenregel für die Spannungen im Schwingkreis abgeleitet. Dies führte zu der folgenden Differentialgleichung:\[L \cdot \ddot Q + \frac{Q}{C} = 0\]Hinweis: Für eine kompaktere Schreibweise hat es sich eingebürgert, dass mit die zeitliche Ableitung einer Größe durch einen Punkt symbolisiert. So bedeutet\[\dot Q = \frac{{dQ}}{{dt}}\;;\;\ddot Q = \frac{{{d^2}Q}}{{d{t^2}}}\]Ein anderer Weg zur Gewinnung der Differentialgleichung für die ungedämpfte elektromagnetische Schwingung geht vom Energiesatz aus\[\frac{1}{2} \cdot L \cdot {\left[ {I(t)} \right]^2} + \frac{1}{2} \cdot C \cdot {\left[ {{U_c}(t)} \right]^2} = const.\]

a)Differenzieren Sie den Energiesatz nach der Zeit unter Beachtung der Kettenregel.

b)Zeigen Sie, dass aus dem Ergebnis von Teilaufgabe a) die Differentialgleichung der freien elektromagnetischen Schwingung folgt.

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a)Differenzieren von\[\frac{1}{2} \cdot L \cdot {\left[ {I(t)} \right]^2} + \frac{1}{2} \cdot C \cdot {\left[ {{U_c}(t)} \right]^2} = const.\]ergibt\[\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot L \cdot I \cdot \dot I + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot C \cdot {U_C} \cdot {\dot U_C} = 0 \Rightarrow L \cdot I \cdot \dot I + C \cdot {U_C} \cdot {\dot U_C}=0\quad(1)\]

b)Am Kondensator gilt\[Q = C \cdot U \Rightarrow U = \frac{Q}{C}\quad(2) \Rightarrow \dot U = \frac{{\dot Q}}{C}\quad(3)\]Außerdem gilt\[I = \dot Q\quad(4) \Rightarrow \dot I = \ddot Q\quad(5)\] Setzt man (2), (3), (4) und (5) in (1) ein, so ergibt sich\[L \cdot \dot Q \cdot \ddot Q + C \cdot \frac{Q}{C} \cdot \frac{{\dot Q}}{C} = 0 \Rightarrow \dot Q \cdot \left( {L \cdot \ddot Q + \frac{Q}{C}} \right) = 0\]Da \({\dot Q}\) nicht andauernd Null ist, muss gelten\[L \cdot \ddot Q + \frac{Q}{C} = 0\]Dies ist genau die Differentialgleichung, welche zunächst aus der Maschenregel hergeleitet wurde.