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Versuche

Induktion durch Änderung der Winkelweite (Simulation)

Das Ziel der Simulation

  • Die Simulation ermöglicht die Untersuchung der Abhängigkeit der Induktionsspannung von der Änderung der Winkelweite.

Im dritten Grundversuch zur elektromagnetischen Induktion (vgl. Link am Ende dieses Artikels) konntest du folgendes erkennen:

  • Wenn sich die Weite \(\varphi\) des Winkels zwischen einer Leiterschleife und dem Magnetfeld, in dem sich diese befindet, ändert, dann kann man an einem Spannungsmesser in der Leiterschleife eine Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) beobachten. Der Betrag der Induktionsspannung ist dabei davon abhängig, wie schnell sich die Winkelweite verändert.

Mit der Simulation in Abb. 1 kannst du quantitativ untersuchen, wie die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) von der Änderung der Winkelweite \(\varphi\) abhängt, wenn die magnetische Feldstärke \(B\) und der Flächeninhalt \(A\) konstant bleiben (vgl. den ersten und den zweiten Grundversuch). Du kannst aber auch untersuchen, welchen Einfluss die magnetische Feldstärke \(B\) und der Flächeninhalt \(A\) auf den Betrag der Induktionsspannung haben.

Aufbau und Durchführung

In der Simulation siehst du eine rechteckige Leiterschleife im Schrägbild, in der Vorderansicht und in der Draufsicht. In dem abgegrenzten Bereich um die Leiterschleife kann während der Simulation ein homogenes magnetisches Feld erzeugt werden. Die Stärke des Feldes kannst du mit dem ersten Schieberegler in bestimmte Grenzen verändern. Die Richtung und die Stärke des Feldes werden durch den Feldstärkevektor \(\vec B\) und eine grüne Färbung dargestellt.

Mit dem zweiten Schieberegler kannst du den Flächeninhalt \(A\) der Leiterschleife in bestimmten Grenzen verändern.

Wie bekommen wir jetzt eine eindeutig messbare Änderung der Winkelweite realisiert? Wir vergrößern - ausgehend von \(\varphi=0\) - in der Zeitspanne \(\Delta t\) die Winkelweite \(\varphi\) linear um den Wert \(\Delta \varphi\). Dann ist die Änderungsrate (Änderungsgeschwindigkeit) der Winkelweite konstant und hat den Wert \(\frac{\Delta \varphi}{\Delta t}\). Mit den nächsten beiden Schiebereglern kannst du die Werte von \(\Delta \varphi\) (im Bogen- und im Gradmaß) und \(\Delta t\) einstellen. Die größte Änderungsrate, also den größten Wert von \(\frac{\Delta \varphi}{\Delta t}\) erreichst du z.B. durch \(\Delta \varphi = 6{,}28\) und \(\Delta t = 4{,}0\,\rm{s}\).

Wenn du die Simulation mit dem Startknopf am unteren Rand startest, kannst du beobachten, wie sich die Leiterschleife um ihre eigene Achse dreht. Gleichzeitig kannst du an einem Spannungsmesser die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) beobachten.

Unterhalb der Leiterschleife wird dir die Zeit \(t\), die momentane Winkelweite \(\varphi\) (im Bogen- und im Gradmaß) und die momentane Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) angezeigt. Am Ende der Simulation wird statt der momentanen Induktionsspannung deren Maximalwerte \(\hat U_{\rm{i}}\) während der Simulation angezeigt.

Mit der Checkbox "Diagramme" kannst du dir den zeitlichen Verlauf von \(\varphi\) und \(U_{\rm{i}}\) in zwei Diagrammen anzeigen lassen.

B
A
Δφ
Δt
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Abb. 1 Prinzipieller Aufbau, Durchführung und Beobachtungen des Versuchs zur Untersuchung der Abhängigkeit der Induktionsspannung von der Änderung der Winkelweite
Beobachtung
Aufgabe

Vervollständige mit Hilfe der Simulation die folgenden Aussagen über die Induktionsspannung \( U_{\rm{i}}\).

Wenn die Winkelweite \(\varphi\) linear ansteigt, dann ... Tipp: Die Leiterschleife bewegt sich auf einem Kreis; hier spielen die trigonometrischen Funktionen wie z.B. die \(\sin\)-Funktion praktisch immer eine Rolle.

Wenn die Winkelweite \(\varphi\) konstant ist, dann ...

Lösung

Wenn die Winkelweite \(\varphi\) linear ansteigt, dann ist die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) möglicherweise proportional zu \(\sin\left(\varphi\right)\).

Wenn die Winkelweite \(\varphi\) konstant ist, dann ist die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) Null.

Mit etwas Erfahrung mit den trigonometrischen Funktionen kannst du erkennen, dass die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) proportional zum Sinus der Winkelweite \(\varphi\) ist. Genauere Auswertungen bestätigen dies. Damit lässt sich die Induktionsspannung während der Änderung der Winkelweite durch \(U_{\rm{i}} = \hat U_{\rm{i}} \cdot \sin\left(\varphi\right)\) beschreiben. \(\hat U_{\rm{i}}\) ist dabei der Maximalwert der Induktionsspannung während der Änderung der Winkelweite.

Im Folgenden werden wir nur noch die Äbhängigkeit dieses Maximalwertes \(\hat U_{\rm{i}}\) von den verschiedenen Parametern untersuchen und den sinusförmigen Verlauf der Induktionsspannung erst am Ende unserer Auswertungen  wieder berücksichtigen.

1. Teilversuch: Untersuchung der Abhängigkeit von \(\hat U_{\rm{i}}\) von der Änderungsrate \(\frac{\Delta \varphi}{\Delta t}\) bei konstantem \(B\) und konstantem \(A\)

Im ersten Teilversuch halten wir die magnetische Feldstärke \(B\) und den Flächeninhalt \(A\) konstant, verändern die Änderungsrate \(\frac{\Delta \varphi}{\Delta t}\) der Winkelweite und beobachten den Maximalwert \(\hat U_{\rm{i}}\) der Induktionsspannung.

Beobachtung
Aufgabe

Halte die magnetische Feldstärke auf dem Wert \(B=0{,}50\,\rm{T}\) und den Flächeninhalt auf dem Wert \(A=1{,}0\,\rm{m}^2\) konstant.

Vervollständige mit Hilfe der Simulation die folgende Wertetabelle. Verändere dabei sowohl die Werte von \(\Delta \varphi\) als auch von \(\Delta t\).

Tab. 1a Wertetabelle ohne Messwerte

\(\Delta \varphi\) \(0{,}00\)         \(6{,}28\)
\(\Delta t\;{\rm{in}}\;{\rm{s}}\)           \(6{,}0\)
\(\frac{\Delta \varphi}{\Delta t}\;{\rm{in}}\;{\frac{1}{\rm{s}}}\)           \(1{,}05\)
\(\hat U_{\rm{i}}\;{\rm{in}}\;{\rm{V}}\)            

Lösung

Mögliche Lösung:

Tab. 1b Wertetabelle mit Messwerten

\(\Delta \varphi\) \(0{,}00\) \(1{,}57\) \(3{,}14\) \(6{,}28\) \(6{,}28\) \(6{,}28\)
\(\Delta t\;{\rm{in}}\;{\rm{s}}\) \(10{,}0\) \(10{,}0\) \(10{,}0\) \(10{,}0\) \(8{,}0\) \(6{,}0\)
\(\frac{\Delta \varphi}{\Delta t}\;{\rm{in}}\;{\frac{1}{\rm{s}}}\) \(0{,}00\) \(0{,}16\) \(0{,}31\) \(0{,}63\) \(0{,}79\) \(1{,}05\)
\(\hat U_{\rm{i}}\;{\rm{in}}\;{\rm{V}}\) \(0{,}00\) \(0{,}08\) \(0{,}16\) \(0{,}31\) \(0{,}39\) \(0{,}52\)
Auswertung
Aufgabe

Stelle die Messwerte in einem \(\frac{\Delta \varphi}{\Delta t}\)-\(\hat U_{\rm{i}}\)-Diagramm dar.

Werte das Diagramm aus.

Lösung

Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 \(\frac{\Delta \varphi}{\Delta t}\)-\(\hat U_{\rm{i}}\)-Diagramm mit Ausgleichsgerade

Das Diagramm in Abb. 2 zeigt, dass bei konstanter magnetischer Feldstärke \(B\) und konstantem Flächeninhalt \(A\) der Maximalwert \(\hat U_{\rm{i}}\) der Induktionsspannung proportional zur Änderungsrate \(\frac{\Delta \varphi}{\Delta t}\) der Winkelweite ist:\[\hat U_{\rm{i}} \sim \frac{{\Delta \varphi}}{{\Delta t}}\]Die Funktionsgleichung der Ausgleichsgerade lautet hier\[\hat U_{\rm{i}} = 0{,}50\,\rm{V}\,\rm{s} \cdot \frac{\Delta \varphi}{\Delta t}\]und mit der Einheitenumrechnung\[\rm{V}\,\rm{s} = \frac{\rm{V}\,\rm{s}\,\rm{m}^2}{\rm{m}^2} = \rm{T}\,\rm{m}^2\]\[\hat U_{\rm{i}} = 0{,}50\,\rm{T}\,\rm{m}^2 \cdot \frac{\Delta \varphi}{\Delta t}\]

2. Teilversuch: Untersuchung der Abhängigkeit von \(\hat U_{\rm{i}}\) von der magnetischen Feldstärke \(B\) bei konstanter Änderungsrate \(\frac{\Delta \varphi}{\Delta t}\) und konstantem \(A\)

Im zweiten Teilversuch halten wir die Änderungsrate \(\frac{\Delta \varphi}{\Delta t}\) der Winkelweite und den Flächeninhalt \(A\) konstant, verändern die magnetische Feldstärke \(B\) und beobachten den Maximalwert \( \hat U_{\rm{i}}\) der Induktionsspannung.

Beobachtung
Aufgabe

Halte die Änderungsrate der Winkelweite auf dem Wert \(\frac{\Delta \varphi}{\Delta t}=1{,}05\,\frac{1}{\rm{s}}\) und den Flächeninhalt auf dem Wert \(A=1{,}0\,\rm{m}^2\) konstant.

Vervollständige mit Hilfe der Simulation die folgende Wertetabelle.

Tab. 2a Wertetabelle ohne Messwerte

\(B\;{\rm{in}}\;{\rm{T}}\) \(0{,}00\)         \(0{,}50\)
\(\hat U_{\rm{i}}\;{\rm{in}}\;{\rm{V}}\)            

Lösung

Mögliche Lösung:

Tab. 2b Wertetabelle mit Messwerten

\(B\;{\rm{in}}\;{\rm{T}}\) \(0{,}00\) \(0{,}10\) \(0{,}20\) \(0{,}30\) \(0{,}40\) \(0{,}50\)
\(\hat U_{\rm{i}}\;{\rm{in}}\;{\rm{V}}\) \(0{,}00\) \(0{,}10\) \(0{,}21\) \(0{,}31\) \(0{,}42\) \(0{,}52\)
Auswertung
Aufgabe

Stelle die Messwerte in einem \(B\)-\(\hat U_{\rm{i}}\)-Diagramm dar.

Werte das Diagramm aus.

Lösung

Joachim Herz Stiftung
Abb. 3 \(B\)-\(\hat U_{\rm{i}}\)-Diagramm mit Ausgleichsgerade

Das Diagramm in Abb. 2 zeigt, dass bei konstanter Änderungsrate \(\frac{\Delta \varphi}{\Delta t}\) der Winkelweite und konstantem Flächeninhalt \(A\) der Maximalwert \(\hat U_{\rm{i}}\) der Induktionsspannung proportional zur magnetischen Feldstärke \(B\) ist:\[\hat U_{\rm{i}} \sim B\]Die Funktionsgleichung der Ausgleichsgerade lautet hier\[\hat U_{\rm{i}} = 1{,}05\,\frac{\rm{V}}{\rm{T}} \cdot B\]und mit der Einheitenumrechnung\[\frac{{\rm{V}}}{{\rm{T}}} = \frac{{\rm{V}}}{{\frac{{{\rm{V}}\,{\rm{s}}\,}}{{{{\rm{m}}^2}}}}} = \frac{\rm{m}^2}{\rm{s}}\]\[\hat U_{\rm{i}} = 1{,}05\, \frac{\rm{m}^2}{\rm{s}} \cdot B\]

3. Teilversuch: Untersuchung der Abhängigkeit von \(\hat U_{\rm{i}}\) vom Flächeninhalt \(A\) bei konstanter Änderungsrate \(\frac{\Delta \varphi}{\Delta t}\) und konstantem \(B\)

Im dritten Teilversuch halten wir die Änderungsrate \(\frac{\Delta \varphi}{\Delta t}\) der Winkelweite und die magnetische Feldstärke \(B\) konstant, verändern den Flächeninhalt \(A\) und beobachten den Maximalwert \(\hat U_{\rm{i}}\) der Induktionsspannung.

Beobachtung
Aufgabe

Halte die Änderungsrate der Winkelweite auf dem Wert \(\frac{\Delta \varphi}{\Delta t}=1{,}05\,\frac{1}{\rm{s}}\) und die magnetische Feldstärke auf dem Wert \(B=0{,}50\,\rm{T}\) konstant.

Vervollständige mit Hilfe der Simulation die folgende Wertetabelle.

Tab. 2a Wertetabelle ohne Messwerte

\(A\;{\rm{in}}\;{\rm{m}}^2\) \(0{,}00\)         \(1{,}0\)
\(\hat U_{\rm{i}}\;{\rm{in}}\;{\rm{V}}\)            

Lösung

Mögliche Lösung:

Tab. 2b Wertetabelle mit Messwerten

\(A\;{\rm{in}}\;{\rm{m}}^2\) \(0{,}0\) \(0{,}2\) \(0{,}4\) \(0{,}6\) \(0{,}8\) \(1{,}0\)
\(\hat U_{\rm{i}}\;{\rm{in}}\;{\rm{V}}\) \(0{,}00\) \(0{,}10\) \(0{,}21\) \(0{,}31\) \(0{,}42\) \(0{,}52\)
Auswertung
Aufgabe

Stelle die Messwerte in einem \(A\)-\(\hat U_{\rm{i}}\)-Diagramm dar.

Werte das Diagramm aus.

Lösung

Joachim Herz Stiftung
Abb. 4 \(A\)-\(\hat U_{\rm{i}}\)-Diagramm mit Ausgleichsgerade

Das Diagramm in Abb. 2 zeigt, dass bei konstanter Änderungsrate \(\frac{\Delta \varphi}{\Delta t}\) der Winkelweite und konstanter magnetischer Feldstärke \(B\) der Maximalwert \(\hat U_{\rm{i}}\) der Induktionsspannung proportional zum Flächeninhalt \(A\) ist:\[\hat U_{\rm{i}} \sim A\]Die Funktionsgleichung der Ausgleichsgerade lautet hier\[\hat U_{\rm{i}}=0{,}52\,\frac{\rm{V}\,\rm{s}}{\rm{m}^2} \cdot A\]und mit der Einheitenumrechnung\(\frac{\rm{V}}{\rm{m}^2} = \frac{\rm{V}\,\rm{s}}{\rm{m}^2\,\rm{s}} = \frac{\rm{T}}{\rm{s}}\)\[\hat U_{\rm{i}} = 0{,}52\,\frac{\rm{T}}{\rm{s}} \cdot A\]

Zusammenfassung der Ergebnisse der drei Teilversuche

  • Aus dem ersten Teilversuch ergibt sich \(\hat U_{\rm{i}} \sim \frac{{\Delta \varphi}}{{\Delta t}}\) bei konstantem \(B\) und konstantem \(A\).
  • Aus dem zweiten Teilversuch ergibt sich \(\hat U_{\rm{i}} \sim B\) bei konstantem \(\frac{{\Delta \varphi}}{{\Delta t}}\) und konstantem \(A\).
  • Aus dem dritten Teilversuch ergibt sich \(\hat U_{\rm{i}} \sim A\) bei konstantem \(\frac{{\Delta \varphi}}{{\Delta t}}\) und konstantem \(B\).

Zusammengefasst ergibt sich\[\hat U_{\rm{i}} \sim \frac{{\Delta \varphi}}{{\Delta t}} \cdot B \cdot A\;{\rm{oder}}\;\hat U_{\rm{i}} = k \cdot \frac{{\Delta \varphi}}{{\Delta t}} \cdot B \cdot A\]

Auswertung
Aufgabe

Bestimme aus den bisherigen Messwerten den Wert des Proportionalitätsfaktors \(k\).

Lösung

Aus dem bisherigen Ergebnis schließen wir, wie wir den Faktor \(k\) bestimmen können:\[\hat U_{\rm{i}}=k \cdot \frac{{\Delta \varphi}}{{\Delta t}} \cdot B \cdot A \Leftrightarrow k = \frac{\hat U_{\rm{i}}}{{\frac{{\Delta \varphi}}{{\Delta t}} \cdot B \cdot A}}\]

Tab. 3 Wertetabelle mit Messwerten

\(B\;{\rm{in}}\;{\rm{T}}\) \(0{,}50\) \(0{,}50\) \(0{,}50\) \(0{,}50\) \(0{,}50\) \(0{,}10\) \(0{,}20\) \(0{,}30\) \(0{,}40\) \(0{,}50\) \(0{,}50\) \(0{,}50\) \(0{,}50\)
\(A\;{\rm{in}}\;{\rm{m}}^2\) \(1{,}0\) \(1{,}0\) \(1{,}0\) \(1{,}0\) \(1{,}0\) \(1{,}0\) \(1{,}0\) \(1{,}0\) \(1{,}0\) \(0{,}2\) \(0{,}4\) \(0{,}6\) \(0{,}8\)
\(\frac{\Delta \varphi}{\Delta t}\;{\rm{in}}\;\frac{1}{\rm{s}}\) \(0{,}16\) \(0{,}31\) \(0{,}63\) \(0{,}79\) \(1{,}05\) \(1{,}05\) \(1{,}05\) \(1{,}05\) \(1{,}05\) \(1{,}05\) \(1{,}05\) \(1{,}05\) \(1{,}05\)
\(\hat U_{\rm{i}}\;{\rm{in}}\;{\rm{V}}\) \(0{,}08\) \(0{,}16\) \(0{,}31\) \(0{,}39\) \(0{,}52\) \(0{,}10\) \(0{,}21\) \(0{,}31\) \(0{,}42\) \(0{,}10\) \(0{,}21\) \(0{,}31\) \(0{,}42\)
\(\frac{\hat U_{\rm{i}}}{{\frac{{\Delta \varphi}}{{\Delta t}} \cdot B \cdot A}}\;{\rm{in}}\;\frac{\rm{V}\,\rm{s}}{\rm{T}\,\rm{m}^2}\) \(1{,}00\) \(1{,}00\) \(1{,}00\) \(1{,}00\) \(1{,}00\) \(1{,}00\) \(1{,}00\) \(1{,}00\) \(1{,}00\) \(1{,}00\) \(1{,}00\) \(1{,}00\) \(1{,}00\)

Es ergibt sich also \(k=1{,}0\,\frac{\rm{V}\,\rm{s}}{\rm{T}\,\rm{m}^2}\) und mit der Einheitenumrechnung\[\frac{{{\rm{V}}\,{\rm{s}}}}{{{\rm{T}}\,{{\rm{m}}^2}}}=\frac{{{\rm{V}}\,{\rm{s}}}}{{\frac{{{\rm{V}}\,{\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^2}}}\,{{\rm{m}}^2}}} = 1\]dann \(k=1{,}0\).

Ergebnis

Befindet sich eine Leiterschleife mit dem Flächeninhalt \(A\) in einem homogenen magnetischen Feld der Feldstärke \(B\) und ändert sich die Winkelweite \(\varphi\) mit der Änderungsrate \(\frac{{\Delta \varphi}}{{\Delta t}}\), dann berechnet sich der Maximalwert \(\hat U_{\rm{i}}\) der Induktionsspannung durch\[\hat U_{\rm{i}}=B \cdot A \cdot \frac{{\Delta \varphi}}{{\Delta t}}\]Berücksichtigen wir noch, dass wir am Anfang unserer Betrachtungen einen sinusförmigen Verlauf der Induktionspannung \(U_{\rm{i}}\) mit  \(U_{\rm{i}} = \hat U_{\rm{i}} \cdot \sin\left(\varphi\right)\) beobachtet haben, so erhalten wir als abschließendes Ergebnis\[U_{\rm{i}}=B \cdot A \cdot \frac{{\Delta \varphi}}{{\Delta t}} \cdot \sin\left(\varphi\right)\]