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Grundwissen

Induktionsgesetz

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Wie Sie in den vorangegangenen Überlegungen gesehen haben, kann eine Induktionsspannung sowohl bei der Bewegung eines Leiters im Magnetfeld, als auch bei der Magnetfeldänderung in einem ruhenden Leiter auftreten. Durch die Einführung der Größe magnetischer Fluss Φ gelingt es, die beiden gewonnenen Gesetze für die Induktionsspannung zu einem Gesetz zusammen zu führen:

Unter dem magnetischen Fluss Φ versteht man das Skalarprodukt aus dem Vektor der magnetischen Flussdichte \(\vec B\) und dem Flächenvektor \(\vec A\) der Leiterschleife bzw. Spule:

 

\[\begin{array}{l}\quad \quad \Phi = \vec B \cdot \vec A\\\left[ \Phi \right] = 1\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^2}}} \cdot {{\rm{m}}^2} = 1{\rm{Vs}}\end{array}\]

 

Für Φ kann man auch schreiben: Φ = B·A·cosα. Sind die Vektoren der Flussdichte und der Fläche gleichgerichtet, so ist cosα = 1 und es gilt in diesem Fall Φ = B·A.

Für eine Veranschaulichung kann man sich für die magnetische Flussdichte B die Feldliniendichte vorstellen, für den magnetischen Fluss Φ die Zahl der Feldlinien, die durch eine betrachtete Fläche tritt.

Flussänderung bei konstanter magnetischer Flussdichte B und Flächenänderung:

\[\begin{array}{l}\;\Delta \Phi = {\Phi _e} - {\Phi _a}\quad \Rightarrow \quad \Delta \Phi = B \cdot {A_e} - B \cdot {A_a}\\\Delta \Phi = B \cdot \left( {{A_e} - {A_a}} \right)\quad \Rightarrow \quad \Delta \Phi = B \cdot \Delta A\quad \left( 1 \right)\end{array}\]

 

Flussänderung bei konstanter Fläche und Änderung der magnetischer Flussdichte B:

\[\begin{array}{l}\;\Delta \Phi = {\Phi _e} - {\Phi _a}\quad \Rightarrow \quad \Delta \Phi = A \cdot {B_e} - A \cdot {B_a}\\\Delta \Phi = A \cdot \left( {{B_e} - {B_a}} \right)\quad \Rightarrow \quad \Delta \Phi = A \cdot \Delta B\quad \left( 2 \right)\end{array}\]

Induktion durch Bewegung:

\[{U_{ind}} = - N \cdot B \cdot \frac{{\Delta A}}{{\Delta t}}\]

unter Verwendung von (1) ergibt sich:

\[{U_{ind}} = - N \cdot \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\]

 

Induktion durch Feldänderung:

\[{U_{ind}} = - N \cdot A \cdot \frac{{\Delta B}}{{\Delta t}}\]

unter Verwendung von (2) ergibt sich:

\[{U_{ind}} = - N \cdot \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\]

In der Formulierung des Induktionsgesetzes mit Hilfe des magnetischen Flusses kann man die beiden Spezialfälle "Induktion durch Bewegung" und "Induktion durch Feldänderung" zu einem Gesetz zusammenfassen. Natürlich gibt es auch die Situation bei der sich die Leiterschleife in einem Magnetfeld bewegt und gleichzeitig sich die Flussdichte ändert. Auch dieser Fall ist in der Formulierung des Induktionsgesetzes mit Hilfe des Flussbegriffs enthalten.

Ändert sich der magnetische Fluss Φ durch eine Leiterschleife oder Spule mit der Zeit, so tritt in der Leiterschleife bzw. Spule eine Induktionsspannung Uind auf. Es gilt:

\[{U_{ind}} = - N \cdot \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\]

N: Windungszahl der Spule;   ΔΦ: Änderung des magnetischen Flusses;  Δt: Zeitintervall

Hinweise für Experten:

  • Bei den betrachteten Beispielen hat sich entweder die Fläche oder das Magnetfeld linear mit der Zeit verändert. Wenn dies nicht mehr der Fall ist, muss man im Induktionsgesetz den Differenzenquotienten ΔΦ/Δt durch den entsprechenden Differentialquotienten dΦ/dt ersetzen:

\[{U_{ind}} = - N \cdot \frac{{d\Phi }}{{dt}}\]

Induktionsgesetz in differentieller Form

 

  • Durch Umformung des oben dargestellten Induktionsgesetzes erhält man:

\[\begin{array}{l}{U_{ind}} = - N \cdot \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\quad \quad \quad \Rightarrow \quad \quad \quad {U_{ind}} \cdot \Delta t = - N \cdot \Delta \Phi \\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {\rm{Spannungssto{ß}}}\quad {\rm{Flussänderung}}\end{array}\]

Hinweis

Die letzte Beziehung gilt nur beim Auftreten einer konstanten Induktionsspannung (d.h. bei zeitlich linearer Flächenänderung, bzw. Flussänderung). Etwas allgemeiner lässt sich unter der Verwendung der Integralrechnung schreiben:

\[\int_{{t_1}}^{{t_2}} {{U_{ind}}dt = - N \cdot \Delta \Phi } \]

Induktionsgesetz in integraler Form

Bei konstanter Induktionsspannung bezeichnet man das Produkt Uind·Δt, bei nicht konstanter Spannung das Integral \(\int_{{t_1}}^{{t_2}} {{U_{ind}}dt} \) als Spannungsstoß.

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